Site Loader

Содержание

Действия с корнями.

  1. Главная
  2. Алгебра
  3. Степени и корни
  4. Действия с корнями.

Умножение корней с одинаковыми показателями

Чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, нужно оставить тот же показатель корня, а подкоренные выражения перемножить.

√(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45

Умножение корней с разными показателями

Чтобы перемножить корни с разными показателями, нужно сначала привести корни к общему показателю, а потом перемножить полученные корни с одинаковым показателем. Чтобы умножить корень на число, надо занести под знак корня это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.

∛‎(729) × √(25) =
= √(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45

Деление корней с одинаковыми и разными показателями

Чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, нужно разделить подкоренные выражения, а показатель корня оставить прежний.

√(81) / √(25) =
= √(81 / 25) =
= 9 / 5

Если показатели корней разные, то сначала нужно привести корни к общему показателю, а потом — поделить получившиеся корни с одинаковыми показателями.Можно делить (число на корень или корень на число) — для этого нужно занести под знак корня (в числитель или в знаменатель) это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.

∛‎(729) / √(25) =
= √(81) / √(25) =
= √(81

/ 25) =
= 9 / 5

Возведение корней в степень

Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня оставить тем же.
(∛‎(125))2 = (∛‎(1252))

Извлечение корня из корня

Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить прежним.

Уничтожение иррациональности в знаменателе

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно домножить на одно и то же выражение числитель и знаменатель дроби, пользуясь по мере надобности формулами сокращённого умножения. Если в знаменатетеле дроби корень числа — домножаем на такой же корень, и в знаменателе оказывается само число.

7 / √(5) =
= 7 × √(5) / 5

Если в знаменателе дроби сумма/разность корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих корней, и в знаменателе оказывается разность самих чисел.

7 / [ √(7) — √(3) ] =
= 7 × [ √(7) + √(3) ] / [ 7 — 3 ] =
= 7 × [ √(7) + √(3) ] / 4

Если в знаменателе сумма/разность кубических корней двух чисел — домножаем на неполный квадрат разности/суммы этих кубических корней. В знаменателе получается сумма/разность самих чисел.Если в знаменателе неполный квадрат суммы/разности кубических корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих кубических корней.

В знаменателе получается разность/сумма самих чисел.

5 / [ ∛(7) + ∛(4) ] =
= 5 × [ ∛(49) — ∛(7 × 4) + ∛(16) ] / [ 7 + 4 ] =
= 5 × [ ∛(49) — ∛(7 × 4) + ∛(16) ] / 11

правила, методы, примеры как делить квадратные корни

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове —  подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Алгоритм действий:

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

Пример 1

144÷36, это выражение следует переписать так: 14436

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

Пример 2

14436. Это выражение следует записать так: 14436

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

Пример 3

14436=4, запишем это выражение так: 14436=4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

Пример 4

4 — полный квадрат, потому что 2×2=4. Из этого следует:

4=2×2=2. Поэтому 14436=4=2.

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Алгоритм действий:

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители. 

Пример 5

8÷36, переписываем так 836

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

Пример 6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

Пример 7

2266×62×2×2, из этого следует: 836=226

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.

е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него. 

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

Пример 8

В выражении 623 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы избавиться от него в знаменателе:

623×33=62×33×3=669=663

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

Пример 9

26 упрощается до 13; таким образом 226упрощается до 123=23

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание  

Метод 3. Деление квадратных корней с множителями

Алгоритм действий:

Упростить множители

Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

Пример 10

432616. Сначала сокращаем 46: делим на 2 и числитель, и знаменатель: 46=23.

Упростить квадратные корни

Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

Пример 11

32 делится нацело на 16, поэтому: 3216=2

Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

Пример 12

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

Пример 13

4327. Следует умножить числитель и знаменатель на 7, чтобы избавиться от корня в знаменателе.

437×77=43×77×7=42149=4217

Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем

Алгоритм действий:

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

Пример 14

15+2— в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

Пример 15

5+2и 5-2 — сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a-b)(a+b)=a2-b2

Пример 16

15+2=1(5-2)(5-2)(5+2)=5-2(52-(2)2=5-225-2=5-223.

Из этого следует: 15+2=5-223.

Советы: 

  1. Если вы  работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь. 2=400\\ \hline \end{array}\]

    Факт 3.
    Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
    \(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\) , то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\) , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\) , а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
    Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\) ; \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\) ; \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\) . \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
    Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\) . Так как \(44100:100=441\) , то \(44100=100\cdot 441\) . По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\) , то есть \(441=9\cdot 49\) .
    Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
    \(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\) ). Так как \(5=\sqrt{25}\) , то \ Заметим также, что, например,
    1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
    2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
    3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) . 2\) , поэтому \(\sqrt{16}=4\) . А вот извлечь корень из числа \(3\) , то есть найти \(\sqrt3\) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\) .
    Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
    Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) и т.д.
    \(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\) .
    Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

    Факт 5.
    \(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\) , равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. 2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
    Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3 \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. 2=168\cdot 168=28224\) .
    Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\) . Вуаля!

    Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

    Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

    1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
    2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

    Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

    Деление корней цветов просто необходимо, если вы решили сразу за одно «мероприятие» получить пару сильных и взрослых растений, которые в будущем будут готовы к цветению. Но если рассматривать этот вопрос с иной стороны, то можно сказать, что деление корней может негативно сказаться на состоянии растений, особенно при неправильной работе с корнями.

    Прежде чем разбирать вопрос – как делить корни, необходимо определиться с растениями, которые можно так размножать. Прежде всего, это травянистые экземпляры с хорошей корневой системой. Делить таким образом можно цветы и кустарники.

    Алгоритм деления корней:

    1. Цветок извлеките из грунта и стряхните большой ком земли.

    2. Остатки почвы смойте водой, но не нужно полностью очищать корни, главное, чтобы почва не мешала вам при делении.

    4. Осуществите обрезку побегов на высоту 10 см. Это мероприятие поможет использовать силы цветов для восстановления корней, а не роста побегов.

    5. Если корневые отростки начали твердеть, и видно, что ничего хорошего с них не получиться, то эти корни срезают.

    6. Желтые и сухие побеги, листья сразу уничтожают.

    7. Обратите внимание на то, что центральная часть цветка делиться не должна. Вы отделяете лишь боковые корни.

    8. Срезы обрабатывают древесным углем, а новые растения высаживают в специальные горшки.

    Что вы еще должны знать о делении корней

    Не выполняйте этот процесс во время цветения растения. Лучше проводить его после этого периода. Если соблюсти эту рекомендацию сложно, то за пару дней перед процессом бутоны и цветы уничтожают, иначе цветок прижиться не сможет.

    Кустарник в открытой почве разделяют осенью, а комнатные цветы – весной. Перед извлечением растения из земли, грунт хорошо поливают, чтобы корневая система не повредилась. Ни в коем случае не тяните растение за наземную часть. Корневую систему вынимают вместе с грунтом, стуча по горшку. Если цветок растет на клумбе, то его осторожно подкапывают и достают при помощи садовых инструментов. Для минимального повреждения корневой системы используют острый нож. Корневую систему не ломайте руками! Это негативно скажется на состоянии будущего цветка.

    Обратите внимание! Не делите куст на маленькие части, так как это может негативно сказаться на их росте и развитии. Приживаемость будет минимальной. Не забывайте, что на каждой части должны быть один взрослый побег.

    В открытую почву сразу высаживать растения нельзя, так как им нужен период восстановления, да и лучи солнца на растения повлияют негативно.

    Польза размножения делением куста

    Кроме того, что растений становится больше, они еще и омолаживаются. Ведь спорить бессмысленно с тем, что биологический возраст всех живых существ не вечен, и растение не стало исключением. Так что вы можете при помощи деления корней обновить ваши многолетники без дополнительного выращивания рассады.

    Размножение растений методом деления корня является одним из самых удобных способов, ведь разовая операция позволяет получить сразу несколько взрослых и сильных растений, готовых к цветению или плодоношению. С другой стороны, подходит данный метод не для всех культур, да и при неправильном выполнении может быть губительным для всего растения.

    Делением корня размножают кустарники и травянистые растения, обладающие развитой корневой системой с образованием почек. В эту категорию можно отнести лещину, сирень, являющуюся кустарником , орхидеи, хризантемы, дельфиниумы и пионы, а также многие другие цветы.

    Основные этапы процедуры :

    • Аккуратно извлеките растение из почвы и отряхните жесткой кистью земляной ком.
    • Остатки грунта смойте водой комнатной температуры, погрузив корни в емкость с водой. Всю землю смывать не нужно, главное чтобы грунт не мешал делению.
    • Оцените сколько растений может получиться из данного куста, выбрав основные взрослые побеги и активные почки.
    • Выполните обрезку всех побегов растения на высоту десять сантиметров (необходимо для высоких травянистых растений и кустарников) . Это позволит растению использовать энергию на восстановление корневой системы, не расходуя ее на питание надземной части.
    • Если есть одеревесневшие побеги, например, при размножении розы , их срезают под самый корень.
    • Удаляются все поврежденные и пожелтевшие побеги и листья.
    • Сделайте уверенные разрезы, отделяя боковые части куста. Центральная часть растения не должна разделяться.
    • Обработайте срезы древесным углем, высадите новые растения в подготовленные емкости и выполните полив раствором стимулятора роста.

    Что нужно знать при делении куста

    Размножение данным способом нельзя выполнять во время цветения. Лучше всего разделить после окончания данного периода. Если это затруднительно, за два дня перед делением срезают все цветы и бутоны. Иначе, растение может погибнуть.

    Комнатные цветы лучше разделять в марте по окончанию периода покоя, а кустарники, растущие в открытом грунте, — осенью до начала заморозков.

    Во время деления корневая система должна быть хорошо видна и легко отделяемая от грунта. Чтобы при извлечении не повредить корни, за день до выполнения деления грунт хорошо увлажняют. Нельзя тянуть за надземную часть растения. Корни с земляным комом вынимают, постукивая по цветочному горшку. Если растение находится на клумбе, его аккуратно откапывают используя садовую лопатку и жесткую малярную кисть.

    Для деления корня используют острый нож, чтобы минимально травмировать растения. Садовые ножницы лучше не использовать, поскольку они могут смять срезы корня. Нельзя ломать корни руками!

    Не стоит разделять растение на слишком мелкие части — это может быть губительным для всего куста, поскольку приживаемость будет значительно ниже. На каждой части должен обязательно быть зрелый побег.

    Сразу высаживать в открытый грунт разделенные растения не желательно, поскольку им необходим период восстановления и прямые лучи солнца, а также вредители и болезни будут для них опасны, а потому лучше выдержать пару недель новые саженцы в защищенном грунте. Последний должен быть стерильным и соответствовать условиям роста разделяемого растения.

    Для чего применяется деление куста

    Помимо увеличения количества экземпляров, метод деления корня применяется для комплексного омоложения растений, биологический возраст которых подходит к концу. Таким образом вы сможете обновлять многолетники без выращивания рассады.

    Очень эффективен данный метод, если требуется сохранить декоративные особенности материнского растения, которые при использовании других методов размножения могут быть утрачены.

    Примеры размножения делением корня:

    Видео 1. Размножение орхидеи фаленопсис

    Видео 3. Размножение смородины делением куста

    Пришло время разобрать способы извлечения корней . Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

    Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

    Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п.

    Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.

    Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.

    Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.

    Приступим.

    Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

    В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

    Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99 . Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83 . Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99 . На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889 , которое является квадратом числа 83 .


    Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.

    Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

    Допустим, нам нужно извлечь корень n -ой степени из числа a , при этом число a содержится в таблице n -ых степеней. По этой таблице находим число b такое, что a=b n . Тогда , следовательно, число b будет искомым корнем n -ой степени.

    В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683 . Находим число 19 683 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27 , следовательно, .


    Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.

    Разложение подкоренного числа на простые множители

    Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

    Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m в виде p 1 ·p 2 ·…·p m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .

    Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.

    Разберемся с этим при решении примеров.

    Пример.

    Извлеките квадратный корень из 144 .

    Решение.

    Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .

    Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.

    Разложим 144 на простые множители:

    То есть, 144=2·2·2·2·3·3 . На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2 . Следовательно, .

    Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .

    Ответ:

    Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

    Пример.

    Вычислите значение корня .

    Решение.

    Разложение на простые множители подкоренного числа 243 имеет вид 243=3 5 . Таким образом, .

    Ответ:

    Пример.

    Является ли значение корня целым числом?

    Решение.

    Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.

    Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.

    Ответ:

    Нет.

    Извлечение корней из дробных чисел

    Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби : корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

    Разберем пример извлечения корня из дроби.

    Пример.

    Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .

    Решение.

    По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5 , а квадратный корень из знаменателя равен 13 . Тогда . На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169 завершено.

    Ответ:

    Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

    Пример.

    Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .

    Решение.

    Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000 . Тогда . Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13= (2·3·13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , то и . Осталось лишь завершить вычисления .

    Ответ:

    .

    Извлечение корня из отрицательного числа

    Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел : чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

    Рассмотрим решение примера.

    Пример.

    Найдите значение корня .

    Решение.

    Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

    Приведем краткую запись решения: .

    Ответ:

    .

    Порязрядное нахождение значения корня

    В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.

    На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

    Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =05 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

    Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором – 2,2 , на третьем – 2,23 , и так далее 2,236067977… . Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.

    Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .

    Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

    Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9 , вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5 . Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:

    Так значение разряда единиц равно 2 (так как 2 2 5 ). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9 , сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5 :

    Так как 2,2 2 5 , то значение разряда десятых равно 2 . Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

    Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

    Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

    Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =02 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.

    Определим его значение.

    Так как 10 3 2 151,186 , то значение разряда десятков равно 1 . Переходим к единицам.

    Таким образом, значение разряда единиц равно 2 . Переходим к десятым.

    Так как даже 12,9 3 меньше подкоренного числа 2 151,186 , то значение разряда десятых равно 9 . Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.

    На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

    В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

    Список литературы.

    • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
    • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
    • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

    Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. 6. Приближенное извлечение квадратных корней. Если D

    Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа с точностью до 1, нужно извлекать, как обыкновенно, и отбросить получаемый в конце действия остаток. Для приближеннаго извлечения корня из дроби, нужно предварительно сделать знаменателя полным квадратом.

    В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам.

    Формула столь же проста, как и умножение. У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования.

    • Каталог заданий
    • Вопросы и ответы

    Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей!

    Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней!

    Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. А почему нет? Умножить корень сам на себя — да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень.

    Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится.

    Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: «где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?

    Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! Это и есть последнее, третье свойство корней.

    • Алгебра
    • 14 баллов

    Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Если х Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями. В отличие от более простых разделов математики, здесь правильный ответ частенько не вытекает автоматически из формул.

    Главный практический совет по работе с квадратными корнями. Если под знаком корня — минус, дальше можно не решать. Если под корнем всё нормально, плюс, а в результате извлечения получается заведомый минус — сделайте из него плюс! Этого требуют правила действий с квадратными корнями.

    24 разделить на корней из 7+1

    Все свойства корней связаны с умножением-делением. На сложение-вычитание корней — не существует специальных формул! Хотя одинаковые корни можно, конечно, складывать-вычитать. Но эти действия к специфическим свойствам корней не имеют никакого отношения.

    Отлично. Корни — не ваша проблема. Нет проблем! Идём в Особый раздел 555. Квадратные корни. Там даны все разъяснения. В этом разделе вы познакомитесь с практической работой с корнями. Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

    Понизим степень косинуса по формуле: 1+cos2α=2cos2α. Следовательно, корней нет. При этом трехчлен 4y2-2y+5 при любом значении у будет принимать только положительные значения.

    OFF: Число ПИ разделить на корень из 3, или математика для 1С-ника

    Ведь если разность двух радикалов умножить на их сумму, то получится разность квадратов корней, т.е. получится выражение без знаков радикалов. 1) Представим подкоренное выражение второго множителя в виде квадрата суммы двух выражений, т.е. в виде(a + b)2. Это позволит нам извлечь арифметический квадратный корень.

    ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ. Напоминаю: здесь а — неотрицательное число (больше или равно нулю), b — положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет… Теперь в нашем арсенале уже две формулы.

    Но именно эти действия вызывают массу проблем… С этим надо разобраться основательно. Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями… Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат. Приведём нашу степень к квадрату.

    А если степень нечётная? Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Здесь всё понятно и просто. Не работает эта формула для отрицательных значений.

    Мы же умеем корень из произведения извлекать. Корень в квадрате — штука бесхитростная. Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! А теперь попрактикуемся в корнях. Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например?

    Квадратный корень

    Предварительные навыки

    Основные сведения

    Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.

    Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см

    S = 32 = 9 см2

    Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.

    Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.

    Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.

    Введём для работы с корнями новые обозначения.

    Символ кóрня выглядит как . Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал. А слово радикал происходит от латинского radix (что в переводе означает корень). Первая буква слова radix это r впоследствии преобразилась в символ корня .

    Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)

    Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)

    Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа 9». С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.

    Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:

    Значит квадрат площадью 9 см2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.

    Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9

    Получается, что выражение  имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.

    Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.

    Например, извлечём квадратный корень из числа 4

    Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4

    Поэтому ответ к выражению вида  записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.

    Запишем ответ к выражению  с плюсом и минусом:


    Определения

    Дадим определение квадратному корню.

    Квадратным корнем из числа a называют такое число b, вторая степень которого равна a.

    То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство ba. Число b (оно же корень) обозначается через радикал  так, что . На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение 

    Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16

    42 = 16

    Корень 4 можно обозначить через радикал  так, что .

    Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16

    (−4)2 = 16

    Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.

    Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство ba.

    В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

    В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение  полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».

    Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.

    Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.

    Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи можно использовать запись. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.

    Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:

    Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:

    12 = 1

    и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:

    Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство , поскольку 0= 0.

    Выражение вида  смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение , поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.

    Если выражение вида  возвести во вторую степень, то есть если записать , то это выражение будет равно подкореннóму выражению a

    Например, выражение  равно 4

    Это потому что выражение  равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.

    Еще примеры:

    Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:

    Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5

    Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5

    Действительно, если не пользуясь правилом , вычислять выражение  обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5

    Не следует путать правило  с правилом . Правило  верно при любом a, тогда как правило  верно в том случае, если выражение  имеет смысл.

    В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:

    Примеры: √4, √9, √16.

    Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.

    Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.

    49 < 64

    Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8,

    √49 < √64

    Отсюда:

    7 < 8


    Примеры извлечения квадратных корней

    Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.

    Пример 1. Извлечь квадратный корень √36

    Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 6= 36

    √36 = 6


    Пример 2. Извлечь квадратный корень √49

    Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 7= 49

    √49 = 7

    В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:

    7 × 7 = 49

    Но 7 × 7 это 72

    7= 49

    Отсюда, √49 = 7.


    Пример 3. Извлечь квадратный корень √100

    Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 102 = 100

    √100 = 10

    Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.


    Пример 3. Извлечь квадратный корень √256

    Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.

    Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.

    Видим, что это число 16. Значит √256 = 16.


    Пример 4. Найти значение выражения 2√16

    В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2


    Пример 7. Решить уравнение 

    В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.

    Значение переменной x равно 16, поскольку . Значит корень уравнения равен 16.

    Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом .

    Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.

    Из определения мы знаем, что квадратный корень  равен числу b, при котором выполняется равенство ba.

    Применим равенство ba к нашему примеру . Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем , а именно переменная x

    В выражении 4x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x.


    Пример 8. Решить уравнение 

    Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

    Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x

    Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим = 64. Значит корень уравнения  равен 64


    Пример 9. Решить уравнение 

    Воспользуемся определением квадратного корня:

    Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5x

    В выражении 72 = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:

    Корень уравнения  равен . Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:


    Пример 10. Найти значение выражения 

    В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.

    Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2


    Приближённое значение квадратного корня

    Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.

    Например, извлечь квадратный корень  можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 8= 64. То есть

    А извлечь квадратный корень  нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.

    Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.

    Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.

    Найдём значение корня  приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня  будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.

    Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:

    √1 = 1

    Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2

    √4 = 2

    √1 меньше, чем √4

    √1 < √4

    А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:

    √1 < √3 < √4

    Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2

    1 < √3 < 2

    Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.

    Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1

    1,12 = 1,21

    Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3, потому что оно малó.

    Проверим тогда дробь 1,8

    1,82 = 3,24

    Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3, потому что оно великó.

    Проверим тогда дробь 1,7

    1,72 = 2,89

    Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3. Напомним, что знак приближенного значения выглядит как ≈

    √3 ≈ 1,7

    Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56, которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим.

    В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.

    Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8

    1,7 < √3 < 1,8

    Проверим дробь 1,74

    1,742 = 3,0276

    Получился результат 3,0276, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276. Значит значение 1,74 великó для корня √3.

    Проверим тогда дробь 1,73

    1,732 = 2,9929

    Получился результат 2,9929, который близок к подкореннóму выражению √3. Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых.

    Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:

    √3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)

    √3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)

    √3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).

    Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:

    √3 ≈ 1

    Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.

    В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.


    Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком

    Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.

    В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89. Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3.

    С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24. Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24. То есть 3,24 − 3 = 0,24.

    Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:

    √3 ≈ 1

    Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.

    Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2

    √3 ≈ 2

    Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:

    √3 ≈ 2 (с избытком)

    Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.

    Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых», заменяют на словосочетания «с точностью до 1», «с точностью до 0,1», «с точностью до 0,01» соответственно.

    Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:

    √5 ≈ 2,23


    Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1

    √51 ≈ 7


    Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1

    √51 ≈ 7,1

    Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01

    √51 ≈ 7,14


    Границы, в пределах которых располагаются корни

    Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].

    Например, пусть исходным числом будет 64. Данное число принадлежит промежутку [1; 100]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10]. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64? Ясно, что перемножение 8 × 8, а это есть 8= 64. Значит квадратный корень из числа 64 есть 8


    Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49

    Число 49 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 7, поскольку 7= 49

    √49 = 7


    Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1

    Число 1 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 1, поскольку 1= 1

    √1 = 1


    Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100

    Число 100 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 10, поскольку 10= 100

    √100 = 10

    Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются. Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10].

    Например, извлечём квадратный корень из числа 37. Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37. Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых:

    √37 ≈ 6,08

    Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36. Квадратный корень из него равен 6. И далее отталкиваясь от числа 6, можно находить приближённое значение корня √37, проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6.

    Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:

    12 = 1
    22 = 4
    32 = 9
    42 = 16
    52 = 25
    62 = 36
    72 = 49
    82 = 64
    92 = 81
    102 = 100

    И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:

    Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.

    Например, 6= 36. Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60. Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600

    60= 3600

    А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:

    6002 = 360000

    Тогда можно сделать следующий вывод:

    Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.

    Например, извлечём квадратный корень из числа 900. Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9. Извлекаем из него корень, получаем 3

    Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3


    Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000

    Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:


    Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000

    Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:


    Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500

    Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:


    Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) на 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.

    Например, . Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:

    И наоборот, если в равенстве  уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:

    Пример 2. Увеличим в равенстве  подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз

    Пример 3. Уменьшим в равенстве  подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз

    Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат. В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100. Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз.

    Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25. В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25.

    Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:

    Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве  подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:

    Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100.

    В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.

    Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, .

    Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.

    Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225, квадратный корень из которого равен 35.

    Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225. Умнóжим данную десятичную дробь на 10000, полýчим 1225. Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов:

    Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225, а не из 1225. Чтобы исправить ситуацию, в равенстве  подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225, а правая часть уменьшится в 100 раз

    Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25. Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби.

    Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100, полýчим 1225. Извлечём корень из числа 1225

    Теперь в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25, и соответственно ответ уменьшится в 10 раз


    Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].

    В этом случае применяется таблица квадратов:

    Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100]. Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576

    Видим, что это число 24. Значит .


    Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432.

    Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000]. Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100]. Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо.

    Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.

    В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.

    Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:

    20,82 = 432,64

    Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432. Проверим тогда значение 20,7

    20,7= 428,49

    Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49, которое меньше исходного числа 432, но близко к нему. Значит √432 ≈ 20,7.

    Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.

    Например, извлечём корень из числа 4225. Нам известен ближайший меньший квадрат 3600, и ближайший больший квадрат 4900

    3600 < 4225 < 4900

    Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:

    Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70. Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900. Затем можно проверить, например, корень 64. Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя)

    Корень 64 не годится. Проверим корень 65

    Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225


    Тождественные преобразования с квадратными корнями

    Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.

    Квадратный корень из произведения

    Квадратный корень из произведения это выражение вида , где a и b некоторые числа.

    Например, выражение  является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.

    Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение  в виде произведения корней . Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3, которое равно 6

    Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9, которое равно 36. Затем извлечь квадратный корень из числа 36

    Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.

    Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12

    Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.

    Итак, разлóжим число 144 на простые множители:

    Получили следующее разложение:

    В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.

    Тогда четыре двойки можно заменить на запись 2× 22, а две тройки заменить на 32

    В результате будем иметь следующее разложение:

    Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144

    Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:

    Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.

    Тогда получится произведение 2 × 2 × 3, которое равно 12

    Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.

    Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Это разложение можно записать под кóрнем как есть:

    затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:

    Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:

    С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.

    Например, извлечём квадратный корень из числа 13456. Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители.

    Итак, разложим число 13456 на простые множители:

    В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 22. А два числа 29 предстáвим как 292. В результате полýчим следующее разложение числа 13456

    Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456

    Итак, если ≥ 0 и ≥ 0, то . То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

    Докажем равенство . Для этого воспользуемся определением квадратного корня.

    Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b, при котором выполняется равенство b= a.

    В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства  при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab.

    Итак, выпишем правую часть равенства  и возведём ее во вторую степень:

    Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:

    Ранее было сказано, что если выражение вида  возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab. А это есть подкореннóе выражение квадратного корня

    Значит равенство  справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.

    Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:

    , при ≥ 0 и ≥ 0, ≥ 0.


    Пример 1. Найти значение квадратного корня 

    Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:


    Пример 2. Найти значение квадратного корня 

    Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10. Делать это будем под знáком корня:

    Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100

    Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:


    Пример 3. Найти значение квадратного корня 

    Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 114 предстáвим как (112)2.

    Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

    В нашем случае квадратный корень из числа (112)2 будет равен 112. Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется:

    Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:

    Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 114 нужно записать в виде произведения 11× 112. Затем извлечь квадратный корень из этого произведения:


    Пример 4. Найти значение квадратного корня

    Перепишем степень 34 в виде (32)2, а степень 56 в виде (53)2

    Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:

    Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

    Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:


    Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения

    Запишем корень  в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:


    Пример 6. Найти значение квадратного корня


    Пример 7. Найти значение квадратного корня


    Если первый сомножитель умножить на число n, а второй сомножитель разделить на это число n, то произведение не изменится.

    Например, произведение 8 × 4 равно 32

    8 × 4 = 32

    Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2, а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2, которое тоже равно 32.

    (8 × 2) × (4 : 2) = 32

    Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.

    Например, извлечём квадратный корень из произведения . Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.

    Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90, можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10, а второй сомножитель 90 разделить на 10, то полýчится произведение 16 × 9. Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения.

    Запишем полное решение данного примера:

    Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:


    Пример 9. Найти значение квадратного корня

    Умнóжим первый сомножитель на 10, а второй раздéлим на 10. Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04, квадратный корень из которого извлекается:


    Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство . Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.

    Например, узнáем чему равно значение выражения .

    Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом , то есть заменим выражение из двух корней  на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40

    Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:

    А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20

    Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.

    Например, найдём значение выражения .

    Воспользуемся правилом

    Сомножитель 32 это 25. Предстáвим этот сомножитель как 2 × 24

    Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 24 предстáвим в виде степени с показателем 2

    Теперь воспóльзуемся правилом и вычислим окончательный ответ:


    Пример 12. Найти значение выражения

    Воспользуемся правилом

    Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2, а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7

    Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 2× 22, а две семёрки как 72

    Теперь воспользуемся правилом и вычислим окончательный ответ:


    Квадратный корень из дроби

    Квадратный корень вида равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a, а в знаменателе — квадратный корень из числа b

    Например, квадратный корень из дроби  равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4, а в знаменателе — квадратный корень из числа 9

    Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:

    Значит, квадратный корень из дроби равен .

    Докáжем, что равенство является верным.

    Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь , то это будет означать, что равенство верно:


    Пример 1. Извлечь квадратный корень 

    Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:


    Пример 2. Извлечь квадратный корень 

    Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:


    Пример 3. Извлечь квадратный корень

    Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3. Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби.

    Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:

    Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:


    Пример 4. Найти значение выражения 

    Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:

    Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

    В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.


    Пример 5. Найти значение выражения 

    Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4


    Пример 6. Найти значение выражения 

    Сначала найдём значение квадратного корня . Он равен 0,6 поскольку 0,6= 0,36

    Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:


    Вынесение множителя из-под знака корня

    В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.

    Рассмотрим квадратный корень из произведения . Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:

    В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение  оставим без изменений:

    Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.

    На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.


    Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

    Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:

    Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:


    Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

    Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:

    Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:


    Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

    Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

    Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:

    Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √15 и 11 местами:


    Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

    Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3

    Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

    Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:


    Пример 6. Упростить выражение 

    Предстáвим второе слагаемое в виде . А третье слагаемое предстáвим в виде

    Теперь в выражениях и вынесем множитель из-под знака корня:

    Во втором слагаемом перемнóжим числа −4 и 4. Остальное перепишем без изменений:

    Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:

    Вычислим содержимое скобок, полýчим −1

    Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3


    Внесение множителя под знак корня

    Рассмотрим следующее выражение:

    В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.

    Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.

    Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15

    Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.

    Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:

    Итак, если данó выражение , и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:

    Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении

    Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:


    Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении 

    Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:


    Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении 

    Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида  не имеет смысла.

    Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.

    Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении 

    В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:


    Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:

    Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

    (a + b)2 = a+ 2ab + b2

    Роль переменной a в данном случае играет выражение √3, роль переменной b — выражение √2. Тогда полýчим:

    Теперь необходимо упростить получившееся выражение.

    Для выражений и  применим правило . Ранее мы говорили, что если выражение вида  возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.

    А в выражении для множителей и применим правило . То есть заменим произведение корней на один общий корень:

    Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом вычислить произведение, которое под кóрнем:


     

    Задания для самостоятельного решения

    Задание 1. Найдите значение квадратного корня:

    Решение:

    Задание 2. Найдите значение квадратного корня:

    Решение:

    Задание 3. Найдите значение квадратного корня:

    Решение:

    Задание 4. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 5. Найдите значение квадратного корня:

    Решение:

    Задание 6. Найдите значение квадратного корня:

    Решение:

    Задание 7. Найдите значение квадратного корня:

    Решение:

    Задание 8. Найдите значения следующих выражений:

    Решение:

    Задание 9. Извлеките квадратный корень из числа 4624

    Решение:

    Задание 10. Извлеките квадратный корень из числа 11025

    Решение:

    Задание 11. Найдите значение квадратного корня:

    Решение:

    Задание 12. Найдите значение квадратного корня:

    Решение:

    Задание 13. Найдите значение квадратного корня:

    Решение:

    Задание 14. Найдите значение квадратного корня:

    Решение:

    Задание 15. Найдите значение квадратного корня:

    Решение:

    Задание 16. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 17. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 18. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 19. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 20. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 21. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 22. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 23. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 24. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 25. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 26. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 27. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 28. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 29. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 30. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 31. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 32. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 33. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 34. Вынести множитель из-под знака корня:

    Решение:

    Задание 35. Вынести множитель из-под знака корня:

    Решение:

    Задание 36. Вынести множитель из-под знака корня:

    Решение:

    Задание 37. Вынести множитель из-под знака корня:

    Решение:

    Задание 38. Вынести множитель из-под знака корня:

    Решение:

    Задание 39. Вынести множитель из-под знака корня:

    Решение:

    Задание 40. Вынести множитель из-под знака корня:

    Решение:

    Задание 41. Вынести множитель из-под знака корня:

    Решение:

    Задание 42. Вынести множитель из-под знака корня:

    Решение:

    Задание 43. Вынести множитель из-под знака корня:

    Решение:

    Задание 44. Вынести множитель из-под знака корня в следующих выражениях:

    Решение:

    Задание 45. Внести множитель под знак корня:

    Решение:

    Задание 46. Внести множитель под знак корня:

    Решение:

    Задание 47. Внести множитель под знак корня:

    Решение:

    Задание 48. Внести множитель под знак корня:

    Решение:

    Задание 49. Внести множитель под знак корня:

    Решение:

    Задание 50. Внести множитель под знак корня в следующих выражениях:

    Решение:

    Задание 51. Упростить выражение:

    Решение:

    Задание 52. Упростить выражение:

    Решение:

    Задание 53. Упростить выражение:

    Решение:

    Задание 54. Упростить выражение:

    Решение:

    Задание 55. Упростить выражение:

    Решение:

    Задание 56. Упростить выражение:

    Решение:

    Задание 57. Упростить выражение:

    Решение:

    Задание 58. Упростить выражение:

    Решение:

    Задание 59. Упростить выражение:

    Решение:

    Задание 60. Упростить выражение:

    Решение:


    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    Возникло желание поддержать проект?
    Используй кнопку ниже

    Навигация по записям

    Корни и степени.

    Квадратный корень, кубический корень.

    Степенью называется выражение вида .

    Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

    Степень с натуральным показателем

    Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

    По определению, .

    Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
    Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

    .

    Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

    .

    Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

    Степень с целым показателем

    Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

    По определению,

    .

    Это верно для . Выражение 00 не определено.

    Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

    Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

    Например,

    Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

    Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

    Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

    Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

    Согласно определению,

    В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

    Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

    Свойства арифметического квадратного корня:

    Кубический корень

    Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

    Например, , так как ;

    , так как ;

    , так как .

    Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

    Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

    Корень -ной степени

    Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

    Например,

    Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

    Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

    Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

    По определению,

    в общем случае .

    Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

    Например,

    Выражение по определению равно .

    При этом также выполняется условие, что больше 0.

    Например,

    Запомним правила действий со степенями:

    — при перемножении степеней показатели складываются

    — при делении степени на степень показатели вычитаются

    — при возведении степени в степень показатели перемножаются

    Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

    Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

    1.

    Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

    2.

    3.

    Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

    Корень квадратный из числа

    Мы с вами уже уяснили себе, что каждому математическому действию соответствует аналогичное, но обратное по направлению действие.

    Для сложения таким обратным действием является вычитание, для умножения — деление. Теперь попробуем выяснить, какое действие является обратным для возведения в степень. Поскольку возведение в степень — это многократное умножение, то, очевидно, обратным действием будет многократное деление.

    Например, 32 можно разделить на 2 и получить 16, затем 16 разделить на 2 и получить 8; затем 8 разделить на 2 и получить 4; затем 4 разделить на 2 и получить 2; наконец, затем 2 разделить на 2 и получить 1. В краткой форме эти действия можно записать как 32:2:2:2:2:2=1. (Наша задача заключалась в том, чтобы добраться до 1.) Поскольку мы произвели деление 5 раз и добрались до 1, то можно сказать, что 2 — это корень пятой степени из 32.

    Если мы рассмотрим число 81, то увидим, что 81:3:3:3:3=1, таким образом, 3 является корнем четвертой степени из 81. (Почему, собственно, корнем? Откуда взялось это слово? Это можно объяснить таким образом: число 32 растет из основания 2, а 81 — из основания 3 так же, как растение произрастает из корней.)

    Такая математическая операция обозначается как $\sqrt{}$. На разнообразие корней указывает число в верхней левой части корня. Так, корень пятой степени из 32 можно записать как $\sqrt[5]{32}$, корень четвертой степени из 81 можно записать как $\sqrt[4]{81}$. Значок $\sqrt{ }$ называется знаком радикала, а числа, содержащие корни, называются радикалами. Слово «радикал» пришло к нам из латыни, где оно означает просто «корень».

    Мы редко встречаемся с корнями высоких степеней, чаще всего приходится иметь дело с операциями, обратными возведению во вторую степень, то есть в квадрат. Извлечение корня второй степени называется извлечением квадратного корня, а $\sqrt[2]{}$ называется квадратным корнем, причем двойка слева часто опускается. В дальнейшем под значком $\sqrt{}$ без цифры в верхнем левом углу мы всегда будем иметь в виду квадратный корень. 5=32$, это означает, что если 32 пять раз разделить на 2, то результатом будет 1. (Если мы возвели число в какую-то степень, нетрудно пойти в обратном порядке.)

    На практике арифметический метод определения корней заключается в серии обратных действий. Попробуем извлечь квадратный корень из 625. Схема вычислений будет следующей:

    Первую цифру ответа, 2, мы получаем подбором. Мы знаем, что 2×2=4, это ближайшее возможное число, меньшее 6, поскольку 3×3=9, что больше 6. Затем проводим вычитание и выносим две цифры вместо одной, как это принято при обычном делении в столбик. (Если бы мы извлекали кубический корень, мы выносили бы три цифры, в случае корня четвертой степени — четыре цифры и так далее.) Чтобы получить следующую цифру, надо разделить 225 на 45. Цифру 45 вы получаете, удваивая первую цифру ответа, что дает вам 4. Вторая цифра должна быть равна второй цифре вашего ответа, таким образом, ее тоже можно найти подбором, так, чтобы получить число, ближайшее к 225. 2$ — это $1\frac{24}{25}$, а нам нужно получить число $1\frac{25}{25}$, то есть 2.

    Но можно получить и более точный ответ. Если помножить дробное число $1\frac{41}{100}$ на себя самое, мы получим $1\frac{9881}{10000}$, что гораздо ближе к 2. Может показаться, что, если делать более точные вычисления, мы рано или поздно найдем точное значение дробного числа, которое является корнем квадратным из 2, хотя, возможно, это будет очень сложное число.

    Материалы по теме:

    Поделиться с друзьями:

    Загрузка…

    Калькулятор корней онлайн — особенности извлечения корней с подробным объяснением

    Калькулятор

    Заполните поля для вычисления корня из числа

    Онлайн-калькулятор – удобный ресурс, помогающий решать задачи, примеры, в котроых встречаются квадратные или степенные корни. Чтобы правильно извлекать корни уравнения онлайн, важно хорошо знать терминологию, основные математические понятия. Что такое квадратный корень – это процесс, обратный возведению натурального числа в квадрат (перемножению числа или понимаемого под ним математического объекта на самое себя).

    Таблица корней от 0 до 99

    Извлечение корней

    Представить работу калькулятора можно с помощью таблицы квадратов двузначных чисел. По горизонтали в каждом из столбцов указаны единицы от одного до девяти, по вертикали – десятки. Достаточно выяснить, в какой из ячеек находится подкоренное число. Несложно догадаться, что по горизонтали в левой крайней колонке указаны десятки, в верхней строчке таблицы – единицы.

    Допустим, под корнем стоит 7056. Находим значение в таблице. Это 8 десятков и 4 единицы, число 84. То есть, 84 это квадратный корень онлайн из 7056. Онлайн-калькулятор находит значения любого подкоренного выражения по подобным таблицам.

    При перемножении отрицательных величин получается величина, больше нуля. Извлечение арифметического квадратного корня возможно только из положительного числа (матрицы).

    Свойства арифметического квадратного корня

    Пользоваться онлайн-калькулятором будет проще, если сначала упростить выражение, привести в удобный для вычисления вид. Чтобы преобразовать подкоренное значение, стоит воспользоваться правилами умножения, деления корней, возведение их в степень. Свойства корней стоит вызубрить, их всего три. Каждое рассмотрено ниже отдельно. Решение корней онлайн упрощается после математических преобразований подкоренного значения или выражения. Для этого достаточно знаний арифметики и азов алгебры.

    Умножение корней

    Если произведение подкоренного выражения можно представить в виде двух множителей, достаточно перемножить корни, извлеченные из этих множителей: допустим, под корнем стоит число 576. Преобразуем его в два множителя: 64 и 9. Затем извлекаем корень из 64, он равен 8, подобную процедуру проводим со вторым из множителей. Квадратный корень из девяти равен 3. Осталось найти результат: 8х3=24. Корень 576 равен 24.

    Формулой свойство изображается так:

    Раскладывая подкоренное значение на множители, можно значительно упростить процесс вычисления квадратных корней.

    Деление корней

    Следующее свойство удобно для извлечения корней из дробных чисел. Когда подкоренное выражение представлено в виде дроби, следует воспользоваться правилом деления. Проще запомнить это свойство по формуле:

    Обратная формула трактуется следующим образом: корень из частного равен частному корней.

    Допустим, нужно извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Для этого необходимо извлечь корень из 25, это 5. Затем подобную манипуляцию произвести с делителем дроби: корень 144 равен двенадцати. После извлечения корня из 25/144 получаем дробь 5/8. Если корень необходимо вычислить из десятичной дроби, нужно представить ее в виде натуральной. Например, 0,64 это 64/100. В результате получаем 8/10 или 0,8. Все довольно просто. Если из делимого или делителя корень не извлекается, при решении примеров или задач его оставляют под знаком корня.

    Возведение в степень

    Последнее свойство корней – это возведение его в степень. Тут все просто: достаточно перенести степень под корень, подставить к подкоренному выражению.

    При возведении подкоренного числа в квадрат с последующим извлечением квадратного корня получаем первоначальное подкоренное выражение. На слух выражение воспринимается сложно. Проще усвоить формулу:

    Из формулы видно, что этим свойством удобно пользоваться при возведении квадратного корня в четную степень, ее можно сразу делить на два и убирать знак корня. Как всегда, пример: чтобы возвести в шестую степень квадратный корень числа 3, необходимо возвести число 3 в куб, степенной показатель 6 поделить пополам.

    Внесение под знак корня

    При решении задач и примеров возникает необходимость вносить под корень множитель. Например, чтобы вычислить 4 корня из 4, можно представить выражение в виде двух корней: первым подкоренным выражением будет 42, второе останется неизменным. Финальное выражение нетрудно произвести, воспользовавшись формулами:

    Формулу запомнить легко, она может пригодиться на экзамене.

    Сравнение корней

    Для графического решения уравнений нередко приходится сравнивать корни. Как это сделать быстро при сравнении квадратных корней? Воспользоваться еще одним правилом: чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня. Допустим, нужно сравнить

    2√3 и 3√2. Вносим числа в подкоренные выражения. Получаем под знаками корней два выражения: 22х3 и 32х2. Осталось сравнить числа 12 и 18. Второе больше.

    Свойства квадратных корней распространяются на другие коренные значения: четные или нечетные. Важно помнить, что в подкоренном выражении с четным показателем не может быть отрицательных чисел. С нечетными числами такое возможно. Результат в этом случае тоже будет отрицательным.

    На этом экскурс по свойствам, сравнению корней можно считать исчерпывающим. Зная эти правила обращения с корнями, можно упростить сложное выражение. Пользоваться нашим онлайн-калькулятором с подсказками очень просто.

    Учебное пособие по делению квадратного корня с примерами, практическими задачами и бесплатный рабочий лист с ключом ответа

    Обновление словарного запаса

    Подкоренное выражение относится к числу под знаком корня. В нижнем радикале подкоренное выражение — это цифра «5».

    Еще раз по важному правилу деления квадратных корней:

    Правило, описанное ниже, является важной частью того, как мы собираемся делить квадратные корни, поэтому убедитесь, что у вас есть секунда, чтобы освежить его в памяти. (Или узнайте впервые;)

    Когда вы делите два квадратных корня, вы можете «поместить» числитель и знаменатель в один и тот же квадратный корень. Ниже приведен пример этого правила с использованием чисел

    .

    Как видите, «23» и «2» можно переписать внутри одного радикального знака.

    Видео о том, как разделить квадратные корни

    Примеры деления квадратного корня
    Пример 1 умножения квадратного корня
    Шаг 1

    Объединить квадратные корни под 1 корень

    Шаг 2

    Разделить (если возможно). Так как 150 делится на 2, мы можем это сделать.

    Шаг 3

    Практика Деление квадратного корня

    Указания: Разделите квадратные корни и выразите свой ответ в простейшей радикальной форме

    Проблема 1
    Показать ответ

    Эта проблема похожа на пример 1.

    Шаг 1

    Объединить квадратные корни под 1 корень

    шаг 1 ответ Шаг 2

    Разделить (если возможно). Так как 200 делится на 10, мы можем это сделать.

    шаг 1 ответ Шаг 3 шаг 1 ответ
    Проблема 2
    Показать ответ

    Эта проблема похожа на пример 1

    Шаг 1

    Объединить квадратные корни под 1 корень

    шаг 1 ответ Шаг 2

    Разделить (если возможно). Так как 140 делится на 5, мы можем это сделать.

    шаг 1 ответ Шаг 3 шаг 1 ответ

    Как разделить квадратный корень

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы вуза предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного расположения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Как разделить квадратный корень

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы вуза предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного расположения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    разделить квадратные корни — элементарная алгебра

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Разделить квадратные корни
    • Рационализировать одночленный знаменатель
    • Рационализировать двухчленный знаменатель

    Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

    1. Найдите дробь, эквивалентную со знаминателем 48.
      Если вы пропустили эту задачу, просмотрите (рисунок).
    2. Упростить:.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
    3. Умножить:.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

    Разделить квадратные корни

    Мы знаем, что упрощаем дроби, удаляя общие для числителя и знаменателя множители. Когда у нас есть дробь с квадратным корнем в числителе, мы сначала упрощаем квадратный корень.Тогда мы можем искать общие факторы.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Мы использовали факторное свойство квадратного корня, чтобы упростить квадратный корень из дробей. Частное свойство квадратного корня говорит о

    .

    Иногда нам нужно использовать частное свойство квадратного корня «в обратном порядке», чтобы упростить дробь с квадратным корнем.

    Мы перепишем факторное свойство квадратного корня, чтобы увидеть оба пути вместе. Помните: мы предполагаем, что все переменные больше или равны нулю, поэтому их квадратные корни являются действительными числами.

    Фактор квадратного корня

    Если a , b — неотрицательные действительные числа и, тогда

    Мы будем использовать частное свойство квадратных корней «в обратном порядке», когда дробь, с которой мы начинаем, является частным двух квадратных корней, и ни один из корневых выражений не является полным квадратом.Когда мы записываем дробь в виде одного квадратного корня, мы можем найти общие множители в числителе и знаменателе.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Мы будем использовать свойство Quotient для экспонентов, когда у нас есть переменные с показателями в подкоренных выражениях.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Рационализация одночленного знаменателя

    До того, как калькулятор стал инструментом повседневной жизни, таблицы квадратных корней использовались для нахождения приблизительных значений квадратных корней.(Рисунок) показывает часть таблицы квадратов и квадратных корней. В этой таблице квадратные корни округлены до пяти десятичных знаков.

    Таблица квадратных корней использовалась для нахождения приблизительных значений квадратных корней до появления калькуляторов.

    Если кому-то нужно было аппроксимировать дробь квадратным корнем в знаменателе, это означало деление в столбик с пятизначным делителем. Это был очень обременительный процесс.

    По этой причине был разработан процесс, называемый рационализацией знаменателя.Дробь с радикалом в знаменателе преобразуется в эквивалентную дробь, знаменатель которой является целым числом. Этот процесс все еще используется сегодня, а также полезен в других областях математики.

    Рационализация знаменателя

    Процесс преобразования дроби с радикалом в знаменателе в эквивалентную дробь, знаменатель которой является целым числом, называется рационализацией знаменателя.

    Квадратные корни из чисел, не являющихся полными квадратами, являются иррациональными числами.Когда мы рационализируем знаменатель , мы записываем эквивалентную дробь с рациональным числом в знаменателе.

    Давайте посмотрим на числовой пример.

    Но мы можем найти дробь, эквивалентную, умножив числитель и знаменатель на.

    Теперь, если нам нужно приблизительное значение, делим. Это намного проще.

    Несмотря на то, что калькуляторы доступны почти повсюду, дробь с радикалом в знаменателе все же требует рационализации.Он не считается упрощенным, если в знаменателе содержится квадратный корень.

    Точно так же квадратный корень не считается упрощенным, если подкоренное выражение содержит дробь.

    Упрощенный квадратный корень

    Квадратный корень считается упрощенным, если имеется

    • без факторов полного квадрата в подкоренном выражении
    • без дробей в подкорке
    • нет квадратных корней в знаменателе дроби

    Чтобы рационализировать знаменатель, мы используем свойство that.Если возвести иррациональный квадратный корень в квадрат, мы получим рациональное число.

    Мы будем использовать это свойство, чтобы рационализировать знаменатель в следующем примере.

    Упростить:.

    Решение

    Чтобы рационализировать знаменатель, мы можем умножить квадратный корень сам на себя. Чтобы дробь оставалась эквивалентной, мы умножаем числитель и знаменатель на один и тот же коэффициент.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Решение

    Чтобы удалить квадратный корень из знаменателя, мы умножаем его на себя. Чтобы дроби оставались эквивалентными, мы умножаем числитель и знаменатель на.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Всегда сначала упрощайте радикал в знаменателе, прежде чем рационализировать его. Таким образом числа остаются меньше, и с ними легче работать.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Рационализировать двухчленный знаменатель

    Когда знаменатель дроби представляет собой сумму или разность с квадратными корнями, мы используем паттерн Произведение конъюгатов, чтобы рационализировать знаменатель.

    Когда мы умножаем бином, который включает квадратный корень, на его сопряжение, произведение не имеет квадратных корней.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Ключевые понятия

    • Фактор квадратного корня
      • Если a , b — неотрицательные действительные числа и, тогда
    • Упрощенные квадратные корни
      Квадратный корень считается упрощенным, если есть
      • нет абсолютных квадратных множителей в подкоренном выражении
      • без дробей в подкорке
      • нет квадратных корней в знаменателе дроби
    Практика ведет к совершенству

    Разделить квадратные корни

    Упростите следующие упражнения.

    ⓐⓑ

    Рационализация однозначного знаменателя

    В следующих упражнениях упростите и рационализируйте знаменатель.

    Рационализировать двухчленный знаменатель

    В следующих упражнениях упростите, рационализируя знаменатель.

    ⓐⓑ

    ⓐⓑ

    Повседневная математика

    Комплект снабжения падает с самолета, летящего на высоте 250 футов.Упростите, чтобы определить, сколько секунд требуется комплекту снабжения, чтобы достичь земли.

    Ракета сбрасывается в океан с самолета, летящего на высоте 1200 футов. Упростите, чтобы определить, сколько секунд требуется, чтобы ракета достигла океана.

    Письменные упражнения


    ⓐ Упростите и объясните все свои шаги.
    ⓑ Упростите и объясните все свои шаги.
    ⓒ Почему два метода упрощения квадратного корня различаются?

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

    Глоссарий

    рационализация знаменателя
    Процесс преобразования дроби с радикалом в знаменателе в эквивалентную дробь, знаменатель которой является целым числом, называется рационализацией знаменателя.

    GMAT Math: Как разделить на квадратный корень

    Многие студенты, готовящиеся к GMAT Quant, особенно те, кто давно не занимается математикой, теряются, пытаясь разделить на квадратный корень.Однако деление на квадратный корень не должно вас пугать. Пройдя короткий курс повышения квалификации, вы быстро научитесь делить на квадратный корень.

    Практические вопросы: как разделить на квадратный корень

    Сначала рассмотрим эти три практических вопроса.

    1. В приведенном выше уравнении x =

    2. Треугольник ABC — равносторонний треугольник высотой 6. Какова его площадь?

    3.В приведенном выше уравнении x =

    Второй — немного геометрии. Вы можете просмотреть свойства треугольника 30-60-90 и равностороннего треугольника, если они вам незнакомы. Первый — это простая арифметика. Третье довольно сложно. Для любого из них вполне может случиться так, что, даже если вы выполнили все операции умножения и деления правильно, вы получили ответы в форме — что-то, деленное на квадратный корень из чего-то, — и у вас остается вопрос: а почему нет? Может ли этот ответ вообще появиться среди вариантов ответа? Если это вас сбило с толку, значит, вы нашли именно тот пост.

    Фракции и радикалы

    Когда мы впервые познакомились с дробями, в нежном подростковом возрасте и числители, и знаменатели были хорошими простыми положительными целыми числами. Как мы теперь понимаем, любое действительное число, любое число во всей числовой строке, может появляться в числителе или знаменателе дроби. Среди прочего, радикалы, то есть выражения квадратного корня, могут появляться как в числителе, так и в знаменателе. Нет особой проблемы, если в числителе используется квадратный корень.Например,

    — очень хорошая дробь. Фактически, те из вас, кто когда-либо занимался тригонометрией, могут даже узнать эту особую дробь. Но предположим, что в знаменателе есть квадратный корень: что тогда? Давайте возьмем величину, обратную этой дроби.

    Это уже не совсем хорошая дробь. Математически это дробь «безвкусицы», потому что мы делим на квадратный корень. Эта фракция требует какого-то упрощения.Как нам это упростить?

    Работа с квадратными корнями в знаменателе

    Согласно стандартному математическому соглашению, которому следует GMAT, мы не оставляем квадратные корни в знаменателе дроби. Если в знаменателе дроби появляется квадратный корень, мы следуем процедуре, называемой , рационализируя знаменатель .

    Мы знаем, что умножение любого квадратного корня на себя равно положительному целому числу. Таким образом, если мы умножим знаменатель квадратного корня из 3 на себя, получится 3, а не радикал.Проблема в том, что мы не можем обойтись без умножения знаменателя дробей на что-либо, оставив числитель в покое, и ожидать, что дробь сохранит свое значение. НО, помните проверенную временем уловку с дробями — мы всегда можем умножить дробь на A / A, на что-то над собой, потому что новая дробь будет равна 1, а умножение на 1 ничего не меняет.

    Таким образом, чтобы упростить дробь с квадратным корнем из 3 в знаменателе, мы умножаем квадратный корень из 3 на квадратный корень из 3!

    Это последнее выражение численно равно первому выражению, но, в отличие от первого, оно теперь имеет математический «хороший вкус», потому что в знаменателе нет квадратного корня.Знаменатель был рационализирован (то есть дробь теперь является рациональным числом).

    Иногда между числом в исходном числителе и целым числом происходит сокращение, которое является результатом рационализации знаменателя. Рассмотрим следующий пример:

    Этот шаблон отмены в процессе упрощения может дать вам некоторое представление о практической проблеме №1, описанной выше.

    Квадратные корни и сложение в знаменателе

    Это следующий уровень сложности, когда дело доходит до деления на квадратный корень.Предположим, мы делим число на выражение, которое включает в себя сложение или вычитание квадратного корня. Например, рассмотрим эту дробь:

    Эта часть требует рационализации. НО, если мы просто умножим знаменатель на себя, это НЕ БУДЕТ устранять квадратный корень — скорее, это просто создаст более сложное выражение, включающее квадратный корень. Вместо этого мы используем формулу разности двух квадратов:

    = (a + b) (a — b). Факторы вида (a + b) и (a — b) называются конъюгатами друг друга.Когда у нас есть (число + квадратный корень) в знаменателе, мы создаем сопряжение знаменателя, меняя знак сложения на знак вычитания, а затем умножаем числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя . В приведенном выше примере знаменатель равен трем минус квадратный корень из двух. Сопряжение знаменателя будет равно трем плюс квадратному корню из двух. Чтобы рационализировать знаменатель, мы умножаем числитель и знаменатель на это сопряжение.

    Обратите внимание, что умножение в знаменателе привело к упрощению «разности двух квадратов», которое вычистило квадратные корни из знаменателя. Этот последний термин представляет собой полностью рационализированную и полностью упрощенную версию оригинала.

    Сводка

    Прочитав эти сообщения о делении на квадратный корень, вы можете еще раз попробовать три практических вопроса в верхней части этой статьи, прежде чем читать объяснения ниже.Если у вас есть какие-либо вопросы о делении квадратным корнем или пояснениях ниже, задавайте их в разделах комментариев! И удачи вам с их победой во время GMAT!

    Объяснение практических вопросов

    1) Чтобы найти x, мы начнем с перекрестного умножения. Обратите внимание, что

    , потому что, как правило, мы можем умножать и делить через радикалы.

    Перемножая, получаем

    Возможно, вы нашли это и задались вопросом, почему он не указан в качестве ответа.Это численно равно правильному ответу, но, конечно, как объясняется в этом посте, эта форма не рационализирована. Нам нужно рационализировать знаменатель.

    Ответ = (D)

    2) Мы знаем высоту ABC и нам нужно найти базу. Итак, высота BD делит треугольник ABC на два треугольника 30-60-90. Из пропорций треугольника 30-60-90 мы знаем:

    Так вот, я предпочитаю сразу же рационализировать знаменатель.

    Теперь AB упрощен. Мы знаем, что AB = AC, потому что ABC равносторонняя, поэтому у нас есть база.

    Ответ = (C)

    3) Начнем с деления на выражение в скобках, чтобы выделить x.

    Конечно, эта форма не появляется среди вариантов ответов. Опять же, нам нужно рационализировать знаменатель, и этот случай немного сложнее, потому что у нас есть сложение в знаменателе вместе с квадратным корнем.Здесь нам нужно найти сопряжение знаменателя, заменив знак плюса на знак минус, а затем умножить числитель и знаменатель на это сопряжение. Это приведет к:

    Ответ = (А)

    Готовы получить отличный результат GMAT? Начни здесь.

    Самые популярные ресурсы

    О Майке MᶜGarry
    Майк создает уроки для экспертов и практические вопросы, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха. У него есть степень бакалавра физики и магистра религии в Гарварде, а также более 20 лет опыта преподавания, специализирующегося на математике, естественных науках и стандартизированных экзаменах.Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидных черепных дефектов, он настаивает на том, чтобы болеть за Нью-Йорк Метс.

    Квадраты и квадратные корни Division


    Эти квадратные корни хороши и все такое, но было бы лучше, если бы мы могли превратить их в дроби поверх них. Как будто мы можем читать ваши мысли, верно? Пугающий.

    Чтобы разделить подкоренные, разделим подкоренные.

    Пример задачи

    Вот почему это имеет смысл: если мы умножим само на себя, мы найдем.В результате получается квадратный корень из. Возможно, вы уже знали об этом. Вероятно, это было на твоих обоях «дивизии радикалов», когда ты рос.

    То же самое с переменными. Если x и y — любые неотрицательные числа (чтобы мы могли извлечь их квадратные корни), тогда:

    Примеры задач

    Разделить, если возможно, упростить:



    Правило деления на радикалы можно использовать и в обратном порядке.Проверьте зеркало заднего вида перед первым движением. Вы не хотите перебирать какие-либо переменные. Или делать у вас?

    Это правило можно использовать, чтобы разбить выражение с дробным подкоренным выражением на частное от радикалов с более красивыми подкоренными элементами. Если x и y являются неотрицательными целыми числами, то:

    Пример задачи

    Упростите.

    Это оба числа из нашего списка, поэтому сразу можем сказать, что это не будет слишком болезненно.Нам нужно иметь возможность обрабатывать каждое из этих чисел отдельно, поэтому мы перепишем это выражение как частное от радикалов и упростим оттуда.

    Иногда полезнее переписать квадратный корень из дроби как долю квадратных корней, как в предыдущем примере. Однако иногда более эффективно выполнять деление на подкоренное выражение. Мы хотели бы сказать вам, что это было более шаблонно, чем это, но вам нужно использовать свое собственное суждение. Наденьте черный халат и напудренный парик, если считаете, что это поможет.

    Пример задачи

    Упростить.

    Превращение этого в частное радикалов дает.

    Поскольку 28 = 4 × 7, давайте перепишем все это целиком:

    Однако если бы мы сначала сделали деление в подкоренном и, мы бы получили:

    Ну, это было намного проще. Мы поддерживаем этот метод; а ты?

    Какой метод мы используем, когда? В общем, если подкоренное выражение представляет собой дробь, которую можно упростить до полного квадрата или другого красивого, четного числа (например, целое число, умноженное на полный квадрат), сначала упростите подкоренное выражение.Если подкоренное выражение представляет собой дробь, которая не упрощается ни до чего, что нам нравится, вероятно, пора разделить выражение на частное из квадратных корней. В любом случае правильное упрощение даст нам правильный ответ. Если время от времени мы будем идти длинным путем, пусть будет так. По крайней мере, мы можем любоваться пейзажем по пути.

    Разделение комплексных чисел — концепция

    Дроби с отрицательными корнями в знаменателе или с i в знаменателе должны быть рационализированы (поскольку i представляет собой квадратный корень).Когда делит комплексные числа с отрицательными корнями, упростите с точки зрения мнимых чисел, а затем умножьте числитель и знаменатель на i. Когда в знаменателе стоит бином, перепишите, используя i, а затем умножьте числитель и знаменатель на сопряжение.

    Деление на комплексное число или число, содержащее i. Поэтому всякий раз, когда мы делим на число, которое включает i, нам нужно рационализировать знаменатель.Помните, что i равно квадратному корню из -1, и нам не разрешено иметь квадратные корни в знаменателе, поэтому мы должны избавиться от него. Хорошо. Итак, мы собираемся вернуться к проблеме, которую мы уже знаем, как решить. 6 над корнем 8. Поэтому всякий раз, когда мы сталкиваемся с подобной проблемой, мы должны рационализировать знаменатель. Избавьтесь от квадратного корня. Так что есть два способа сделать это. Вы можете либо умножить корень 8 на корень 8 и избавиться от него, либо я предпочитаю иметь дело с меньшими числами, поэтому, если можно, я сначала попытаюсь упростить этот знаменатель.
    Я знаю, что 8 — это то же самое, что 4 умножить на 2. Давайте сделаем другой цвет, чтобы мы его увидели. Так что на самом деле это действительно равно 6 вместо 2 корня 2. Итак, теперь вместо умножения на корень 8 мне все еще нужно избавиться от корня, но вместо этого я могу умножить на корень 2. Итак, мы умножаем на корень 2, а затем на [IB], чтобы получить квадратный корень и возвести в квадрат 2 сверху. Хорошо.
    Прежде чем я умножу это, я вижу, что могу это упростить. У нас 6 больше 2. Это отменит, оставив мне 3.Хорошо? Итак, теперь у нас есть 3 корня 2 в числителе, а затем у нас нет 2. Итак, у нас корень 2 больше, чем корень 2. Квадратные корни. Когда вы умножаете их вместе, они просто нейтрализуют друг друга, оставляя нас с тем, что внутри — 2. Итак, в итоге мы получили 3 корня 2 больше 2. Хорошо?
    Та же самая идея, когда мы имеем дело с мнимыми числами, числами, включающими i. Итак, здесь 5 больше квадратного корня из 9. Первое, что я хочу сделать, это радикально упростить знаменатель, хорошо? Это квадратный корень из 9 равно 3. Значит, в знаменателе будет 3i. Хорошо? Итак, переписав это, мы получим 5 вместо 3i. Число 3 не представляет проблемы, поэтому мы можем оставить его таким, но на самом деле мы хотим избавиться от этого i. Помните, что i умножить на i, я возведу в квадрат -1. Итак, если мы умножим это на i в знаменателе, мы получим i в квадрате, -1. Наш квадратный корень исчез. Нам нужно умножить на 1, поэтому нам также нужен i наверху. Упрощая это, мы получили 5i в числителе и 3i в квадрате в знаменателе. я возведу в квадрат, -1 так что это просто становится -5i больше 3, хорошо?
    Итак, как и в случае с нормальными радикалами, всякий раз, когда мы имеем дело с радикалом негативного, мы все равно должны от него избавляться.Я считаю, что лучше всего упростить свои цифры, чтобы заниматься мелкими вещами. Но главная проблема заключается в том, чтобы избавиться от квадратного корня в знаменателе.

    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.