Вычислить квадратный корень из числа: примеры, расчеты, калькулятор

Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

• найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
• выполнить математическое действие с дробными степенями.

Как вычислять квадратный корень вручную —методом подбора находить подходящие значения. Рассмотрим, как это делать.

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

Например:

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:

Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.
Применим правило Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.	Ответ.

 

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки.	Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4. Значит между 2 и 4.
Оцениваем значение	Вероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7. 2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76~7.
Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так: — целую часть справа налево; — число после запятой слева направо.	Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Допускается, что вначале остается непарное число.
Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел). Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа. У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 =
Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7. А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_. Примечание: числа должны быть одинаковыми.
Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.
Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня. Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.
Вычтите полученное справа произведение из числа слева. Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.
Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую. Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.
Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение  прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

Алгоритм действий

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

4. Нажмите кнопку «Решить».

Вычисление самых сложных математических действий с онлайн калькулятором станет простым! Экономьте время и проводите расчеты с CALCON.RU.

Как делить квадратные корни

3 методика:Деление квадратных корнейПреобразование знаменателяИспользование сопряженных выражений Деление квадратных корней похоже на упрощение дробей, но с одним исключением: в знаменателе дроби нет корня. Шаги Метод 1 из 3: Деление квадратных корней 1 Терминология: Знак корня – символ, использующийся для обозначения корня. Множитель – число, стоящее перед знаком корня. Подкоренное выражение – число, находящееся под знаком корня. 2 Запишите задачу в виде дроби. Помните, что делитель – это число, на которое делят. Оно записывается в знаменателе. 3 Упростите множители дробей, стоящих в числителе и знаменателе. Для этого разделите множители на их наибольший общий делитель (НОД – наибольшее число, на которое делятся данные числа). 4 Упростите подкоренные выражения, разложив их на множители и сократив одинаковые множители (то есть такие, какие присутствуют как в знаменателе, так и в числителе). 5 Обратите внимание, что если знаменателе присутствует корень, то необходимо преобразовать знаменатель. 6 Прежде чем записать окончательный ответ, проверьте ваши вычисления. Метод 2 из 3: Преобразование знаменателя 1 Если в знаменателе дроби находится арифметическое выражение, в котором суммируются или вычитаются члены с корнем, перейдите к следующему разделу этой статьи. В противном случае читайте далее. 2 Запишите вторую дробь справа от исходной. 3 В знаменателе второй дроби запишите корень, стоящий в знаменателе исходной дроби. Если в знаменателе исходной дроби перед корнем присутствует множитель, не учитывайте его (в знаменателе второй дроби пишите только корень). 4 В числителе второй дроби запишите корень, который стоит в ее знаменателе. 5 Перемножьте две дроби: числитель одной умножьте на числитель другой, а знаменатель умножьте на знаменатель. Перемножьте корни. Для получения подробной информации об умножении корней прочитайте эту статью. Если числитель исходной дроби содержит выражение, в котором складываются или вычитаются некоторые члены, то каждый член такого выражения необходимо умножить на числитель второй дроби. 6 Знаменатель новой дроби представляет собой квадратный корень во второй степени. А он равен подкоренному выражению. 7 Теперь в знаменателе умножьте подкоренное выражение на множитель (если он присутствовал в знаменателе исходной дроби). 8 В числителе проверьте корень на возможность выноса множителя из-под знака корня. 9 Сократите полученную дробь. Для этого разделите множитель дроби (в числителе) и число в знаменателе на их наибольший общий делитель (НОД). Если числитель новой дроби содержит выражение, в котором складываются или вычитаются некоторые члены, то для упрощения дроби каждый член такого выражения должен быть разделен на НОД. Метод 3 из 3: Использование сопряженных выражений 1 Терминология. Сопряженные выражения – это два двучлена с аналогичными членами, но с разными знаками между ними. Например, 3x — 5 и 3х + 5 – это сопряженные выражения. 2 Сопряженные выражения применяются только в тех случаях, когда знаменатель дроби содержит двучлен, один член которого является корнем. 3 Запишите вторую дробь справа от исходной. 4 В знаменателе второй дроби запишите двучлен, стоящий в знаменателе исходной дроби, но с обратным знаком. 5 В числителе второй дроби запишите двучлен, который вы записали в ее знаменателе. 6 Перемножьте два знаменатели, используя формулу сокращенного умножения. В знаменателе вы получите разность квадрата произведения первых членов и квадрата произведения вторых членов. 7 Упростите новый знаменатель. Для этого возведите в квадрат произведение первых членов и произведение вторых членов (что избавит вас от корней). 8 Вычтите полученные результаты. 9 Перемножьте числители. Для этого соответственно перемножьте члены выражений, стоящих в числителях обеих дробей. 10 Сократите новую дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий НОД. Если в знаменателе находится отрицательное число, просто запишите знак «-» перед дробью (так как при делении положительного числа на отрицательное получится отрицательное число). Советы Многие калькуляторы имеют клавишу для ввода дроби. Сначала введите числитель, нажмите клавишу для ввода дроби, а затем введите знаменатель. Нажмите клавишу «=». Если дробь можно упростить, то вы увидите ее на экране калькулятора. При использовании методов, описанных в этой статье, обязательно преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби. В отличие от сложения и вычитания корней, при их делении необязательно выносить множитель из-под знака корня. На самом деле лучше этого не делать. Предупреждения Никогда не оставляйте корень в знаменателе дроби; вместо этого преобразуйте знаменатель. Никогда не записывайте десятичные дроби или смешанные числа перед знаком корня. Вместо этого преобразуйте их в обыкновенные дроби и упростите полученное выражение. Никогда не записывайте десятичную дробь в числитель или знаменатель обыкновенной дроби. Она была бы «дробью в дроби». Если ваш знаменатель содержит двучлен, используйте сопряженные выражения для избавления от корня в таком знаменателе.

Как делить корни между собой

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

144 ÷ 36 , это выражение следует переписать так: 144 36

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

144 36 . Это выражение следует записать так: 144 36

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

144 36 = 4 , запишем это выражение так: 144 36 = 4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

4 – полный квадрат, потому что 2 × 2 = 4 . Из этого следует:

4 = 2 × 2 = 2 . Поэтому 144 36 = 4 = 2 .

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.

8 ÷ 36 , переписываем так 8 36

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , из этого следует: 8 36 = 2 2 6

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

В выражении 6 2 3 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3 , чтобы избавиться от него в знаменателе:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

2 6 упрощается до 1 3 ; таким образом 2 2 6 упрощается до 1 2 3 = 2 3

Упростить множители

Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

4 32 6 16 . Сначала сокращаем 4 6 : делим на 2 и числитель, и знаменатель: 4 6 = 2 3 .

Упростить квадратные корни

Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

32 делится нацело на 16 , поэтому: 32 16 = 2

Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

4 3 2 7 . Следует умножить числитель и знаменатель на 7 , чтобы избавиться от корня в знаменателе.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

1 5 + 2 — в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

5 + 2 и 5 – 2 – сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: ( a – b ) ( a + b ) = a 2 – b 2

1 5 + 2 = 1 ( 5 – 2 ) ( 5 – 2 ) ( 5 + 2 ) = 5 – 2 ( 5 2 – ( 2 ) 2 = 5 – 2 25 – 2 = 5 – 2 23 .

Из этого следует: 1 5 + 2 = 5 – 2 23 .

1. Если вы работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь.
2. Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.

источник

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно “не очень. ”
И для тех, кто “очень даже. ” )

Продолжаем развлечение? В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам. Очень уж она полезная в решении примеров! Осталось ещё две. Переходим к следующей формуле. Это будет деление корней.

Формула столь же проста, как и умножение. Вот она:

Напоминаю: здесь а – неотрицательное число (больше или равно нулю), b – положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет. Об этих тонкостях мы ниже поговорим.

У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. Что можно делать прямо по формуле? Очевидно, делить корни.

Элементарно. Вот вам примерчик:

В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования. Например:

Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. Как видите, ничего здесь сложного нет.

Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. Справа налево. Вот так:

Какие возможности раскрывает нам такая запись? Ничего нового, думаете? Ошибаетесь! Забавно, но простая запись формулы в другом направлении частенько высвечивает дополнительные возможности!

В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Спокойно пишем себе:

Вот и все дела! От работы с дробью целиком, мы переходим к работе отдельно с числителем, отдельно со знаменателем. Что гораздо проще. А если дробь десятичная? Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь – переводите десятичную дробь в обыкновенную, и – вперёд! По формуле деления корней. Например:

Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Как поступаем? Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь – и по знакомой формуле деления корней! К примеру, вот так:

Что, забыли, как переводить дроби? Срочно двигайте в тему “Дроби” и вспоминайте. А то ни дробь преобразовать, ни сократить её. И зачем вам тогда квадратные корни?

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Простая и безобидная формула, простое употребление. Теперь в нашем арсенале уже две формулы. Умножение и деление корней. Табурет на двух ножках. Сидеть можно, но. некомфортно.)

Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Или корень в квадрате. Или корень из степени. Корень в степени. Всяко называют. Но суть одна. Это возведение в степень подкоренного выражения или самого корня.

Можно ли корень возвести в квадрат? А почему нет? Умножить корень сам на себя – да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень. А извлечь корень из квадрата? Да тоже не проблема! Мы же умеем корень из произведения извлекать. Так что можно извлечь корень не только из квадрата, но и из любой степени.

Но именно эти действия вызывают массу проблем. С этим надо разобраться основательно. Что мы сейчас и сделаем. Начнём с безобидного действия. С корня в квадрате.

Так как посчитать корень в квадрате? Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например? Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Так вот, если мы число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку, возведём-таки в этот самый квадрат? Что получим? Двойку, конечно! Т.е. подкоренное выражение. Или, в общем виде:

Вот и всё! Никаких подводных камней, всё строго по формуле! Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение. Понятно, что а – число неотрицательное. Иначе формула смысла не имеет.

А если корень не в квадрате, а в другой степени? Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями. По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Например, вот так (расписываю подробно):

Как видим, корень исчезает, Степень результата в два раза меньше исходной степени.

Если степень нечётная – разложим исходное выражение на множители, и все дела:

Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Корень в квадрате – штука бесхитростная. Разберёмся теперь с корнем из квадрата.

Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат.

Кто бы спорил? А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень:

Опять всё чудесно, правда? С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать:

Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией – извлечением квадратного корня. В общем виде формула выглядит вот так:

Стоп! Внимание! Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: “где а – больше, либо равно нулю”. В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что а – неотрицательное. Для простоты. А вот как встретите на этой странице мрачного зайца – вот там и начнётся настоящая работа!

Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Допустим, в четвёртой? Да нет проблем. Приведём нашу степень к квадрату. Вот так:

Для таких преобразований надо опять-таки знать действия со степенями, но тут уж ничего не поделаешь.

Теперь по формуле корня из квадрата:

Вот и всё. Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной. Корень из 3 10 ? Легко! Это будет 3 5 . Корень из 5 18 ? Запросто! Это будет 5 9 . Ну, и так далее.

А если степень нечётная? Подумаешь! Раскладываем подкоренное выражение на множители – и вперёд! Используем вынесение множителя из-под корня. Например:

Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Как только в игру вступают отрицательные величины, простота куда-то пропадает начисто. Вернём эту простоту и ясное понимание.

Вот тут и будет мрачный заяц. Для лучшего запоминания.) Концентрируем внимание и собираем весь интеллект в кулак!)

Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?

Пунктик первый. Отрицательные значения даны прямо в задании. Вспоминаем пример корня из квадрата двойки:

Здесь всё понятно и просто.

А теперь попробуем вычислить:

Берём, и просто считаем, безо всяких формул:

Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) – всегда число неотрицательное! То есть:

А если бы мы использовали формулу:

получили бы не два, а минус два! Что является ошибкой.

Не работает эта формула для отрицательных значений.

Для того, чтобы формула корня из квадрата работала для всех значений а, она записывается вот так:

Это и есть последнее, третье свойство корней. Корень из квадрата. Третья ножка для табурета.)

Здесь появляется страшный значок для старшеклассников. Модуль. Если вы пока не сильны в раскрытии модулей, не волнуйтесь. Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Формула стала полноценной. Модуль просто отсекает минусы:

Пунктик второй. Отрицательные значения спрятаны в буквах и дополнительных условиях. Например, требуется упростить выражение:

Не выходит? Смотрим ЗАКЛЮЧЕНИЕ урока.

Получилось? Неплохо. А как вам эти примерчики?

Вычислить (все буквы – неотрицательные):

Ответы (в беспорядке): выражение не имеет смысла; 5; 4; 1; -3; 0,5

Всё нормально!? Отлично. Корни – не ваша проблема.

Не всё понятно? Не беда. Читаем дальше.

Не получаются даже простые примеры? Или не очень простые? Хотелось бы увидеть решение всех примеров с подробными и понятными объяснениями? Нет проблем! Идём в Особый раздел 555. Квадратные корни. Там даны все разъяснения. Которые, между прочим, годятся не только для решения этих примеров.

Это и будет последняя, четвёртая ножка для табурета.) Которая не даст свалиться и при серьёзных заданиях.

Особо ценная информация Раздела 555 помогает даже в самых запущенных случаях!) Когда не получается – и всё тут! Не говоря уж об отдельных неясностях. В этом разделе вы познакомитесь с практической работой с корнями.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся – с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

источник

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Вы ведь тоже ещё не вкурили?

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt$ и $\sqrt$. Для них всё вообще очевидно:

. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt$ и $\sqrt$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу.

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt[7]$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.

А пока рассмотрим парочку примеров:

Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)

Умножать корни несложно

Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:

Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).

Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)

%» — короче, я нихрена в тот раз не понял. 🙂

Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.

Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:

Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:

Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:

Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:

Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:

Но тогда получается какая-то хрень:

Этого не может быть, потому что $\sqrt[3] \lt 0$, а $\sqrt[3] \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

1. Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
2. Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

Пример. В числе $\sqrt[3]$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:

Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. >>\].

3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)

Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

Пример 2. Упростите выражение:

Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.

Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:

1. Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
2. В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.

Например, можно было поступить так:

По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.

На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt\cdot \sqrt[4]$. Теперь его можно расписать намного проще:

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

источник

Степенью называется выражение вида .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть це

Корень, подготовка к ЕГЭ по биологии

Корень — вегетативный орган растения, обладающий положительным геотропизмом (растет по направлению силы притяжения), имеющий цилиндрическую форму и радиальную симметрию. До тех пор пока на кончике корня есть верхушечная (апикальная) меристема, корень способен к росту. Ключевое отличие корня от побега в том, что верхушечная меристема защищена корневым чехликом, который покрывает ее. Запомните также, что на корне никогда нельзя найти листья. Основные функции корня:

• Опорная функция — закрепляет растение в почве (заякоривание)
• Всасывание воды и растворенных в ней минеральных веществ из почвенного раствора
• Синтез органических веществ — в клетках корня происходит образование важных для растения соединений (алкалоиды, гормоны, аминокислоты)
• Запасание питательных веществ — корень накапливает крахмал, масла
• Вегетативное размножение — может осуществляться частями корня

Иногда на корнях закладываются придаточные почки — так называют почки, которые закладываются вне типичных мест развития почек (вне пазухи листа и верхушки побега). Из них прорастают побеги, часто называемые корневой порослью или корневыми отпрысками.

• Симбиоз с бактериями, грибами

Клубеньковые (азотфиксирующие) бактерии объединяются на корнях в особые образования — клубеньки. Эти бактерии способны преобразовывать атмосферный азот (молекулярное вещество) в азотсодержащие сложные вещества, которые усваиваются растениями. С мицелием грибов корень образует симбиоз, который называется микориза (или грибокорень).

Корневая система и происхождение корней

Корневую систему образуют в совокупности все корни растения. Она обеспечивает надежное заякоривание растения в почве. У растений встречается три основных типа:

• Стержневая корневая система

Хорошо выражен, развит главный корень, выделяется на фоне остальных корней. Боковые и придаточные корни не выделяются, занимают по отношению к главному подчиненное положение. Характерна для двудольных растений: клевера, одуванчика лекарственного, лопуха большого.

• Мочковатая корневая система

Главный корень не развит или быстро отмирает, преобладают придаточные корни, растущие от побега. Корни равнозначны между собой. Мочковатая система характерна для большинства однодольных растений: лук репчатый, злаки. Для некоторых двудольных: подорожник большой, лютик едкий.

• Смешанная корневая система

Можно отличить главный корень, он выделяется по размеру. Однако, хорошо развиты множественные придаточные и боковые корни. Смешанная корневая система характерна для клубники, земляники.

Зоны корня

Зоны корня являются отражением его роста и развития. Я всегда говорю учениками, что воображение — это самое важное. Представьте корень, растущий вглубь почвы. Он сталкивается со множеством проблем и задач, которые зоны корня помогают решать. По мере роста вглубь, зоны корня сменяют друг друга в направлении роста. Итак, какие же зоны корны выделяют?

• Зона размножения (деления)

Это зона представлена мелкими, быстро делящимися клетками верхушечной (апикальной) меристемы, расположенной на верхушке конуса нарастания. Такие молодые клетки особенно уязвимы, поэтому с целью защиты зону размножения покрывает корневой чехлик. Его клетки постоянно погибают от соприкосновения с почвой, образуя слизистый чехол, способствующий росту корня вглубь почвы и снижающий трение о почву.

Корневой чехлик у злаковых растений образуется из меристематических клеток, совокупность которых называется калиптрогеном. У двудольных растений имеется дерматокалиптроген, из которого помимо корневого чехлика развивается протодерма, из которой далее дифференцируется ризодерма (эпиблема).

• Зона роста (растяжения)

В этой зоне поделившиеся «молодые клетки — взрослеют», набирают цитоплазматическую массу, увеличиваются в размерах. Именно за счет их роста зона деления корня проталкивается вглубь почвы, что и обеспечивает рост корня.

• Зона всасывания

Здесь происходит дифференцировка клеток, формируются основные типы тканей. Клетки ризодермы (эпиблемы) образуют корневые волоски — волосовидный вырост. Важно отметить, что корневой волосок это вырост одной клетки. Однако клеток очень много, и в совокупности все их корневые волоски существенно увеличивают площадь всасывания корня. Врастая в почву, корневые волоски выполняют одну из важнейших функций корня — всасывание воды и растворенных в ней минеральных солей из почвенного раствора. По длине зона всасывания занимает 1-1,5 см.

• Зона проведения

По мере роста корня вглубь почвы корневые волоски отпадают, когда-то активная зона всасывания теперь становится другой крайне важной зоной — проведения. По протяженности зона проведения корня превосходит все остальные: она тянется вплоть до корневой шейки — места перехода корня в стебель, достигает десятков сантиметров.

Пикирование (пикировка) корня

Это удаление верхушки главного корня вместе с зоной размножения. Таким образом садоводы останавливают рост главного корня и стимулируют развитие боковых и придаточных корней, корневая система получается разветвленной, и растение дает хороший урожай.

Корневое дыхание

В корнях идет процесс дыхания, подобно тому, как и в других органах. Для нормального роста и развития к корню должен поступать свежий воздух, содержащий кислород. При плохой структуре почвы ее насыщение водой приводит к настоящему кислородному голоданию корней — асфиксии, и далеко не все растения устойчивы к этому явлению. Есть виды, которые совершенно не переносят затоплений и требуют хорошей аэрации почвы — дуб черешчатый, бук.

Отметьте для себя важность аэрации корней растения, посмотрев на следующий опыт. С помощью груши в левой части рисунка в воду накачивают воздух, частично растворяющийся в воде — корни получают кислород, растение развивается. Справа корневое дыхание затруднено, развитие растения замедлено, и, если асфиксия корней продолжится, растение погибнет.

Видоизменения корней

• Корнеплод

Запасающий орган, в котором складируется крахмал, сахароза, белки, клетчатка, минеральные соли. Формируется корнеплод из главного корня и основания стебля побега. Корнеплод характерен для двулетних растений: свеклы, петрушки, брюквы, моркови.

В первый год жизни у них формируется корнеплод с запасом питательных веществ, к осени надземная часть отмирает. Следующей весной растение «оживает» именно благодаря запасу веществ в корнеплоде с прошлого года. На второй год растения плодоносят и цветут, после чего отмирают полностью.

• Корневые клубни

Представляют собой видоизменения боковых и придаточных корней. Выполняют запасающую функцию. Внешне утолщены и напоминают клубни. Имеются у чистяка, ятрышника, георгина, батата (сладкий картофель).

• Питающие воздушные корни

Некоторые растения образуют корни в воздушной среде. Воздушные корни встречаются у лиан и эпифитов, растущих в условиях тропиков, где воздух настолько влажный, что из него в буквальном смысле можно всасывать воду, что и делают воздушные корни. Многослойная покровная ткань воздушных корней подобно губке впитывает воду из влажного воздуха. Имеются у тропических папоротников, орхидеи, монстеры.

Слово эпифиты происходит от греч. ἐπι- — «на» и φυτόν — «растение», так обозначают растения, прикрепленные или произрастающие на других растениях, при этом совершенно не получающие от них питательных веществ, то есть явление паразитизма исключается.

• Корни прицепки (или корни-зацепки)

Это видоизмененные придаточные корни, выполняющие опорную функцию. Они прикрепляют растения к объектам окружающей внешней среды: стволам деревьев, фасадам зданий, корни прицепки помогают занять растению наиболее благоприятное с точки зрения освещенности место. Яркий примеры — плющ, ваниль.

• Воздушные опорные корни (корни-подпорки)

Видоизмененные придаточные одревесневшие корни, растут на стволах и ветвях до почвы, у ее поверхности сильно разветвляются, тем самым «подпирая» растение. Придают опору растению и его ветвям, закрепляют его в почве. Встречаются у тропических растений: баньян, фикус.

• Дыхательные корни

Формируются у растений, произрастающих в воде или на болоте, в качестве механизма адаптации к недостаточному снабжению корней воздухом. Они приподнимаются над поверхностью воды и поглощают воздух. Такие корни имеет болотный кипарис (таксодиум).

• Ходульные корни

Образуются на стволах деревьев для опоры. Могут поддерживать ствол дерева над уровнем воды при затоплениях, укрепляют растение в иле или песчаном грунте приливной полосы морских побережий. Имеются у пандануса.

• Корни-присоски

Видоизменения корней растений-паразитов, с помощью которых они высасывают питательные вещества из клеток растения-хозяина. Эти корни внедряются в стебли других растений и поглощают их соки: воду, растворенные в ней минеральные вещества, органические вещества. Имеются у повилики и заразихи. У омелы, погремка тоже имеются корни-присоски, но они всасывают только воду и растворенные в ней соли.

© Беллевич Юрий Сергеевич 2018-2020

Данная статья написана Беллевичем Юрием Сергеевичем и является его интеллектуальной собственностью. Копирование, распространение (в том числе путем копирования на другие сайты и ресурсы в Интернете) или любое иное использование информации и объектов без предварительного согласия правообладателя преследуется по закону. Для получения материалов статьи и разрешения их использования, обратитесь, пожалуйста, к Беллевичу Юрию.

Как правильно делить корневища георгин?

Роскошные, царственные, массивные и красочные соцветия георгин сложно не заметить в любом саду. Эта истинная королева осени не знает себе равных ни в размерах соцветий, ни в своей живописности во второй половине садового сезона. К сожалению, чтобы можно было любоваться на роскошное цветение георгин, приходится немало потрудиться. Георгины эффектно цветут только тогда, когда растения своевременно омолаживают и контролируют число побегов. Слишком крупные, разросшиеся георгины не порадуют столь же крупными и красивыми соцветиями. Разделение георгин – процесс простой, но в нем есть все же свои тонкости.

Деление корневища георгины. © sina

Содержание:

Разделение клубней – залог цветения и здоровья георгин

Георгины – далеко не самые простые в выращивании растения из категории луковичных и клубневых. Это малозимостойкое, выращиваемое только с выкопкой на зиму, достаточно капризное растение, требующее от садоводов немалых усилий. Конечно, георгины сполна отблагодарят за заботу и быстрым ростом, и небывалыми размерами, и красотой цветения. Но чтобы ими насладиться, придется позаботиться не только о правильном уходе, ежегодной выкопке на зиму, правильном хранении и посадке.

Своевременное размножение и омоложение георгин – один из самых важных пунктов в уходе за этим растением.

При делении как раз размножение считается далеко не главной целью и причиной. Конечно, в отдельных случаях получение как можно большего числа растений, увеличение количества посадочного материала — очень важная задача. Но омолаживать георгины, в первую очередь, нужно для наиболее красочного цветения и сохранения их здоровья. Корневища георгин нужно часто, своевременно и правильно разделять.

Главная цель разделения — получение корнеклубней оптимального размера, когда количество точек роста, а соответственно, и побегов на них позволит добиться самого пышного цветения и правильного развития растений. Георгины наращивают гнезда очень активно, они разрастаются за лето, и если своевременно не разделять растения, они начнут вырождаться.

И чем больше запущен процесс, тем сильнее будут проявляться признаки мельчания и потери декоративности. Считается, что при отсутствии регулярного деления георгины полностью вырождаются, стареют и гибнут за 5-6 лет.

Один из важных аспектов разделения георгин – профилактика. При разрастании гнезд георгины не просто вырождаются, но и существенно ухудшается их иммунитет. Возможности растения противостоять вирусам и инфекциям, способность не реагировать на неудачную погоду, стойкость к вредителям и другим негативным факторам при разрастании гнезда снижается практически прямо пропорционально.

А вот своевременное разделение оказывает прямо противоположный эффект: георгины в процессе разрезания и разделения проявляют более сильные защитные реакции. Растения легче борются с инфекциями, устойчивее к непогоде, вирусам и любым негативным факторам.

Разделение необходимо проводить далеко не ежегодно и не для всех георгин. Его проводят только на тех экземплярах, которые обладают сильными, здоровыми, крупными, разросшимися клубнями с многочисленными точками роста.

Никогда не разделяют:

• очень маленькие корневища;
• растения с 1-3 точками роста;
• сорта и виды с очень тонкими стеблем и корневой шейкой.

Георгина — королева осеннего сада. © nihon-kankou

Сроки разделения для садовых георгин

Разделять георгины, омолаживая их и оставляя корнеклубни оптимального размера, нужно в то время, когда они находятся вне почвы – до или после закладки на хранение. Выбор между осенним и весенним разделением нужно делать в зависимости от удобства, привычек или возможностей, особенностей погоды осенью во время выкопки и даже тех условий, в которых хранят корневища.

У каждого из двух вариантов разделения есть свои преимущества и недостатки:

Осеннее разделение георгин

Считается самым простым и продуктивным способом. Осенью, когда корневища выкапывают, все равно приходится проводить их очистку, обработку фунгицидами, осмотры и удаление поврежденных частей. Поэтому уже чистые и готовые отправиться на хранение деленки остается только разделить, чтобы весной сразу приступать к подготовке к посадке.

Главные преимущества этого способа – в меньших рисках поражения вирусами и заболеваниями, простоте самого процесса. Но и риски также большие:

• более мелкие деленки хуже переносят зимовку вне почвы;
• выше риск усыхания или поражения заболеваниями.

Весеннее разделение георгин

Его проводят перед началом пробуждения корневищ, перед стартом садового сезона. Перезимовавшие георгины повторно осматривают, выбраковывают. Весной можно оценить их реальное состояние, почки к концу марта (а при правильном хранении именно в эти сроки заканчивается период покоя) хорошо выделяются, их легко обнаружить и оценить.

Читайте наш подробный материал: Подготовка, проращивание и посадка клубней георгин.

Процент потери посадочного материала меньше, а размеры и качество деленок определить проще. Крупные георгины лучше хранятся, поэтому многие предпочитают именно разделение перед подготовкой к посадке, а не после выкопки. Правда, сложность разделения, твердость и вялость кожуры, больший риск того, что на крупное гнездо распространится инфекция, не всегда компенсируются преимуществами.

Какой бы вариант разделения не был выбран, следует помнить, что аккуратная работа и тщательные осмотры, отсутствие спешки — залог успеха и в том, и в другом случае.

Осеннее разделение корневища георгины. © uneruta

Условный стандарт для деленок георгин

«Посадочная единица», или стандартная деленка георгин – один клубень с 1-3 сильными, качественными почками и хорошо развитыми, качественными корнями. Иногда это одна «корнешишка», а иногда — несколько, если почка одна-единственная и общая.

Чтобы георгины нормально развивались, соцветия не мельчали, растение не истощалось и нормально вызревало, на каждом кусте стоит оставлять два, в крайнем случае — три стебля. Лишние побеги рекомендуют удалять еще на ранних стадиях развития, но лучше, если максимальное количество побегов будет ограничено еще до проращивания или посадки путем контроля количества почек.

От этого стандарта или нормы можно отклоняться. В каждом конкретном случае способ разделения, линии, по которым стоит разрезать корневища и то, сколько нужно оставлять почек и клубней, нужно определять индивидуально. Начинать всегда лучше с тщательнейшего осмотра и выявления тех почек, которые есть на каждом корневище. Если ориентироваться сложно, можно наметить линии и почки маркером.

Если вы купили редкий сорт, у вас есть всего одна деленка, растение плохо перезимовало и остался всего один клубень с парой почек, речь идет о спасении сорта или попытке вырастить пару кустов из одного корня, можно разделять корнеклубень пополам, оставляя в каждой части 1-2 почки. Если клубень образует сильные корни и всего одну почку, можно смело отделять его для роста сильного куста с одним стеблем.

Работает принцип индивидуального подбора размера деленок и в «обратном» направлении. Если растение болело, ослаблено, корневища в плохом состоянии, корни почти не развиты, а почки очень слабые, то, независимо от количества почек, лучше оставить большие отрезки корневища, чтобы за лето растение восстановилось и нарастило качественную массу. В таком случае в деленке оставляют по 2-3 клубня со стандартными 1-3 почками.

Маленький, но жизнеспособный корне-клубень георгины. © sina

Технология разделения клубней георгин

Любому разделению георгин – и осеннему, и весеннему – должен предшествовать тщательный осмотр растения; удаление всех сухих, поврежденных, отмерших частей. Санитарная чистка клубней, как и их замачивание в фунгицидах и промывание, должны быть проведены до разделения. Клубни, размеры которых превышают 15 см в длину, лучше укоротить.

Стебли перед разделением укорачивают до высоты в 1-2 см, а маточный, самый крупный и темный клубень, вырезают (как и мелкие, верхние, слабые боковые клубни толщиной меньше 1,5 см и без почек).

Самый простой вариант разделения георгин – сделать все вручную. Если у растения было несколько стеблей, клубни легко отделяются, то в разрезании нет никакой нужды. Достаточно, аккуратно удерживая корневища снизу, немножко расшатать клубень и осторожно разломать гнезда на несколько частей или отдельные шишки.

Если у растения один стебель или клубни расположены плотно, срослись, а аккуратно разломать их вручную не получается, то вместо причинения травм лучше сразу использовать метод разрезания.

Разрезают клубни георгин острым, продезинфицированным, тонким ножом. Иногда для разделения используют секатор или ножницы. Но нож предпочтительнее, поскольку он не сдавливает ткани корней. Обработку лезвия и обеззараживание нужно проводить после каждого среза.

При разделении корневища с одним пеньком аккуратно разрезают пополам стебель, оставляя по обе стороны почки, а затем растягивают деленки в стороны. Плотно расположенные клубни аккуратно отделяют друг от друга.

Если получившиеся деленки слишком крупные, можно продолжить деление стебля пополам с растягиванием частей. Если вы хотите получить большее число деленок, то сильные, хорошо развитые клубни с крупными почками аккуратно ровным срезом разрезают пополам.

При любом разрезании «корнешишек» важно двигаться вдоль клубня, следить за тем, где находятся ростовые почки и корни. Срезы проводят на отдалении от ростков, оставляя достаточное пространство для заживления раны и никогда не подбираясь вплотную к точкам роста.

Независимо тот того, пришлось ли разламывать или разрезать георгины, любую рану на растении после разделения нужно обработать защитным составом. Обычный толченный уголь, марганцовка, в крайнем случае — зеленка, сера, фунгицид или специальное средство для луковичных наносят на всю поверхность среза. После разделения срезам дают подсохнуть в течение 2-х–3-х дней.

Если стоит задача наращивания за сезон как можно более крупного корневища с целью размножения или спасения сорта, деленки георгин нужно высадить в качественную почву и тщательно подобрать условия.

В течение сезона нужно не допускать длительного пересыхания почвы, обеспечить регулярные поливы и подкормки. Срезка части цветков или недопускание цветения вообще позволят получить более крупные гнезда, которые можно будет поделить уже следующей осенью.

Почему нельзя делить на ноль?

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Ответил: Александр Сергеев

Операции с квадратным корнем

Операции с квадратными корнями

Вы можете выполнять ряд различных операций с квадратными корнями. Некоторые из этих операций включают один радикальный знак, в то время как другие могут включать множество радикальных знаков. Следует внимательно изучить правила, регулирующие эти операции.

Под одинарным знаком корня

Операции можно выполнять под одинарным знаком корня .

Пример 1

Выполните указанную операцию.

При совпадении радикальных значений

Вы можете складывать или вычитать квадратные корни, только если значения под знаком корня равны. Затем просто сложите или вычтите коэффициенты (числа перед знаком корня) и сохраните исходное число в знаке корня.

Пример 2

Выполните указанную операцию.

Обратите внимание, что коэффициент 1 понимается в.

При других значениях корня

Вы не можете складывать или вычитать разные квадратные корни.

Пример 3

Сложение и вычитание квадратных корней после упрощения

Иногда после упрощения квадратного корня (ов) становится возможным сложение или вычитание.По возможности всегда упрощайте.

Пример 4

Упростить и добавить.

1. Их нельзя добавить, пока не будет упрощено.

   Теперь, поскольку под знаком корня оба похожи,

2. Попытайтесь упростить каждую из них.

   Теперь, поскольку под знаком корня оба похожи,

Продукты неотрицательных корней

Помните, что при умножении корней знак умножения можно опустить.По возможности всегда упрощайте ответ.

Пример 5

Умножить.

2. Если каждая переменная неотрицательна,

3. Если каждая переменная неотрицательна,

4. Если каждая переменная неотрицательна,

Коэффициенты неотрицательных корней

Для всех положительных чисел

В следующих примерах предполагается, что все переменные положительны.

Пример 6

Разделить. Оставьте все дроби с рациональными знаменателями.

Обратите внимание, что знаменатель этой дроби в части (d) является иррациональным. Чтобы рационализировать знаменатель этой дроби, умножьте его на 1 в виде

.

Пример 7

Разделить. Оставьте все дроби с рациональными знаменателями.

2. Первое упрощение:

   или

Примечание: Чтобы оставить рациональный член в знаменателе, необходимо умножить числитель и знаменатель на , сопряженное знаменателя. Сопряжение двучлена содержит те же члены, но с противоположным знаком. Таким образом, ( x + y ) и ( x — y ) являются конъюгатами.

Пример 8

Разделить. Оставьте дробь с рациональным знаменателем.

квадратов и квадратных корней

Сначала узнайте о квадратах, затем квадратные корни — это просто.

Как возвести число в квадрат

Чтобы возвести число в квадрат: , умножьте его на само себя .

Пример: Что такое 3 в квадрате?

3 Квадрат

=

= 3 × 3 = 9

«В квадрате» часто записывают как две маленькие цифры:

Здесь говорится, что «4 в квадрате равно 16»
(маленькая 2 говорит число появляется дважды при умножении)

квадратов от 0 ² до 6 ²

0 Квадрат	=	0 2	=	0 × 0	=	0
1 Квадрат	=	1 2	=	1 × 1	=	1
2 Квадрат	=	2 2	=	2 × 2	=	4
3 Квадрат	=	3 2	=	3 × 3	=	9
4 Квадрат	=	4 2	=	4 × 4	=	16
5 Квадрат	=	5 2	=	5 × 5	=	25
6 Квадрат	=	6 2	=	6 × 6	=	36

Отрицательные числа

Мы также можем возвести в квадрат отрицательных чисел .

Это было интересно!

Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , мы получаем положительный результат .

То же, что и возведение положительного числа в квадрат:

(Подробнее см. Квадраты и квадратные корни в алгебре)

Квадратные корни

Квадратный корень из идет в обратном направлении:

3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень из 9 это 3

Квадратный корень числа равен…

… значение, которое можно умножить на само на себя , чтобы получить исходное число.

Квадратный корень из 9 равен …

… 3 , потому что , когда 3 умножается на само , мы получаем 9 .

Это как спросить:

Что можно умножить само на себя, чтобы получить это?

Чтобы помочь вам вспомнить , подумайте о корне дерева: «Я знаю дерево , но какой корень его сделал? » В данном случае дерево — «9», а корень — «3».

Вот еще несколько квадратов и квадратных корней:

4		16
5		25

Порядок работы — PEMDAS

Операции

«Операции» означают такие вещи, как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и т. Д.Если это не число, вероятно, это операция.

Но, когда вы видите что-то вроде …

7 + (6 × 5 ² + 3)

… какую часть нужно рассчитать в первую очередь?

Начать слева и идти направо?
Или идти справа налево?

Предупреждение: вычисляйте их в неправильном порядке, и вы можете получить неправильный ответ!

Итак, давным-давно люди согласились соблюдать правила при расчетах, а это:

Порядок действий

Действия в скобках сначала

		4 × (5 + 3)	=	4 × 8	=	32
		4 × (5 + 3)	=	20 + 3	=	23	(неверно)

Показатели (степени, корни) перед умножением, делением, сложением или вычитанием

		5 × 2 2	=	5 × 4	=	20
		5 × 2 2	=	10 2	=	100	(неверно)

Умножьте или разделите перед сложением или вычитанием

		2 + 5 × 3	=	2 + 15	=	17
		2 + 5 × 3	=	7 × 3	=	21	(неверно)

В противном случае просто идите слева направо

		30 ÷ 5 × 3	=	6 × 3	=	18
		30 ÷ 5 × 3	=	30 ÷ 15	=	2	(неверно)

Как я все это помню…? ПЕМДАС!

п.	P первая часть
E	E xponents (т.е. степени, квадратные корни и т. Д.)
MD	M ultiplication и D ivision (слева направо)
AS	A ddition и S ubtraction (слева направо)

Разделение и Умножение ранжируются одинаково (и идут слева направо).

Сложить и вычесть ранг одинаково (и идти слева направо)

Так сделай так:

После того, как вы сделали «P» и «E», просто идите слева направо, выполняя любые «M» или «D», как вы их найдете.

Затем идите слева направо, выполняя любые «A» или «S», когда найдете их.

.