Site Loader

Содержание

Как поделить корень на корень

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

Продолжаем развлечение? В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам. Очень уж она полезная в решении примеров! Осталось ещё две. Переходим к следующей формуле. Это будет деление корней.

Формула столь же проста, как и умножение. Вот она:

Напоминаю: здесь а — неотрицательное число (больше или равно нулю), b — положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет. Об этих тонкостях мы ниже поговорим.

У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. Что можно делать прямо по формуле? Очевидно, делить корни.

Как делить корни?

Элементарно. Вот вам примерчик:

В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования. Например:

Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. Исключительно для того, чтобы формулу

деления корней в дело употребить. Как видите, ничего здесь сложного нет.

Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. Справа налево. Вот так:

Какие возможности раскрывает нам такая запись? Ничего нового, думаете? Ошибаетесь! Забавно, но простая запись формулы в другом направлении частенько высвечивает дополнительные возможности!

В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Спокойно пишем себе:

Вот и все дела! От работы с дробью целиком, мы переходим к работе отдельно с числителем, отдельно со знаменателем. Что гораздо проще. А если дробь десятичная? Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! По формуле деления корней.

Например:

Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Как поступаем? Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней! К примеру, вот так:

Что, забыли, как переводить дроби? Срочно двигайте в тему «Дроби» и вспоминайте. А то ни дробь преобразовать, ни сократить её. И зачем вам тогда квадратные корни?

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Простая и безобидная формула, простое употребление. Теперь в нашем арсенале уже две формулы. Умножение и деление корней. Табурет на двух ножках. Сидеть можно, но. некомфортно.)

Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Или корень в квадрате. Или корень из степени

. Корень в степени. Всяко называют. Но суть одна. Это возведение в степень подкоренного выражения или самого корня.

Можно ли корень возвести в квадрат? А почему нет? Умножить корень сам на себя — да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень. А извлечь корень из квадрата? Да тоже не проблема! Мы же умеем корень из произведения извлекать. Так что можно извлечь корень не только из квадрата, но и из любой степени.

Но именно эти действия вызывают массу проблем. С этим надо разобраться основательно. Что мы сейчас и сделаем. Начнём с безобидного действия. С корня в квадрате.

Как возвести корень в квадрат?

Так как посчитать корень в квадрате? Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например? Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Так вот, если мы число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку, возведём-таки в этот самый квадрат? Что получим? Двойку, конечно! Т.е. подкоренное выражение. Или, в общем виде:

Вот и всё! Никаких подводных камней, всё строго по формуле! Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение. Понятно, что а — число неотрицательное. Иначе формула смысла не имеет.

А если корень не в квадрате, а в другой степени? Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями. По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Например, вот так (расписываю подробно):

Как видим, корень исчезает, Степень результата в два раза меньше исходной степени.

Если степень нечётная — разложим исходное выражение на множители, и все дела:

Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Корень в квадрате — штука бесхитростная. Разберёмся теперь с корнем из квадрата.

Как извлечь корень из квадрата?

Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат.

Кто бы спорил? А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень:

Опять всё чудесно, правда? С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать:

Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией — извлечением квадратного корня. В общем виде формула выглядит вот так:

Стоп! Внимание! Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут:

«где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что а — неотрицательное. Для простоты. А вот как встретите на этой странице мрачного зайца — вот там и начнётся настоящая работа!

Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Допустим, в четвёртой? Да нет проблем. Приведём нашу степень к квадрату. Вот так:

Для таких преобразований надо опять-таки знать действия со степенями, но тут уж ничего не поделаешь.

Теперь по формуле корня из квадрата:

Вот и всё. Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной. Корень из 3 10 ? Легко! Это будет 3 5 . Корень из 5 18 ? Запросто! Это будет 5 9 . Ну, и так далее.

А если степень нечётная? Подумаешь! Раскладываем подкоренное выражение на множители — и вперёд! Используем вынесение множителя из-под корня. Например:

Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Как только в игру вступают отрицательные величины, простота куда-то пропадает начисто. Вернём эту простоту и ясное понимание.

Вот тут и будет мрачный заяц. Для лучшего запоминания.) Концентрируем внимание и собираем весь интеллект в кулак!)

Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?

Пунктик первый. Отрицательные значения даны прямо в задании. Вспоминаем пример корня из квадрата двойки:

Здесь всё понятно и просто.

А теперь попробуем вычислить:

Берём, и просто считаем, безо всяких формул:

Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! То есть:

А если бы мы использовали формулу:

получили бы не два, а минус два! Что является ошибкой.

Не работает эта формула для отрицательных значений.

Для того, чтобы формула корня из квадрата работала для всех значений а, она записывается вот так:

Это и есть последнее, третье свойство корней. Корень из квадрата. Третья ножка для табурета.)

Здесь появляется страшный значок для старшеклассников. Модуль. Если вы пока не сильны в раскрытии модулей, не волнуйтесь. Здесь он означает лишь то, что при любом знаке

а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Формула стала полноценной. Модуль просто отсекает минусы:

Пунктик второй. Отрицательные значения спрятаны в буквах и дополнительных условиях. Например, требуется упростить выражение:

Не выходит? Смотрим ЗАКЛЮЧЕНИЕ урока.

Получилось? Неплохо. А как вам эти примерчики?

Вычислить (все буквы — неотрицательные):

Ответы (в беспорядке): выражение не имеет смысла; 5; 4; 1; -3; 0,5

Всё нормально!? Отлично. Корни — не ваша проблема.

Не всё понятно? Не беда. Читаем дальше.

Не получаются даже простые примеры? Или не очень простые? Хотелось бы увидеть решение всех примеров с подробными и понятными объяснениями? Нет проблем! Идём в Особый раздел 555. Квадратные корни. Там даны все разъяснения. Которые, между прочим, годятся

не только для решения этих примеров.

Это и будет последняя, четвёртая ножка для табурета.) Которая не даст свалиться и при серьёзных заданиях.

Особо ценная информация Раздела 555 помогает даже в самых запущенных случаях!) Когда не получается — и всё тут! Не говоря уж об отдельных неясностях. В этом разделе вы познакомитесь с практической работой с корнями.

И всё получится.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

144 ÷ 36 , это выражение следует переписать так: 144 36

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

144 36 . Это выражение следует записать так: 144 36

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

144 36 = 4 , запишем это выражение так: 144 36 = 4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

4 — полный квадрат, потому что 2 × 2 = 4 . Из этого следует:

4 = 2 × 2 = 2 . Поэтому 144 36 = 4 = 2 .

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.

8 ÷ 36 , переписываем так 8 36

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , из этого следует: 8 36 = 2 2 6

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

В выражении 6 2 3 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3 , чтобы избавиться от него в знаменателе:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

2 6 упрощается до 1 3 ; таким образом 2 2 6 упрощается до 1 2 3 = 2 3

Метод 3. Деление квадратных корней с множителями

Упростить множители

Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

4 32 6 16 . Сначала сокращаем 4 6 : делим на 2 и числитель, и знаменатель: 4 6 = 2 3 .

Упростить квадратные корни

Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

32 делится нацело на 16 , поэтому: 32 16 = 2

Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

4 3 2 7 . Следует умножить числитель и знаменатель на 7 , чтобы избавиться от корня в знаменателе.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Метод 4.

Деление на двучлен с квадратным корнем

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

1 5 + 2 — в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

5 + 2 и 5 — 2 — сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: ( a — b ) ( a + b ) = a 2 — b 2

1 5 + 2 = 1 ( 5 — 2 ) ( 5 — 2 ) ( 5 + 2 ) = 5 — 2 ( 5 2 — ( 2 ) 2 = 5 — 2 25 — 2 = 5 — 2 23 .

Из этого следует: 1 5 + 2 = 5 — 2 23 .

Советы:

  1. Если вы работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь.
  2. Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
  3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
  4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
  5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.

А извлечь корень из квадрата? Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 — множителем. Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями.

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Перемножьте все члены между собой, включая множители перед корнями и подкоренные выражения. Всегда ищите делитель, из которого можно взять целый корень; это облегчит процесс. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.

Метод 1 из 3: Умножение корней без множителей

Перемножьте числа под корнем. Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5. В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам.

Метод 3 из 3: Перемножение двучленов с квадратными корнями

Формула столь же проста, как и умножение. У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования.

Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней!

Как делить корни?

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Мы же умеем корень из произведения извлекать. Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение.

По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат. Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: «где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней.

Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! Это и есть последнее, третье свойство корней.

Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Если х Глазки у ребенка начали гноится когда мы были еще в роддоме. Тогда мы даже попали в больницу. С 1996г. по 2004г. работал детским […]

  • Красные пятна на листьях смородины Махровость черной смородины. Листья скручиваются и преждевременно опадают. Листовые пилильщики повреждают красную и белую смородину, […]
  • Ветрянка у детей Основные симптомы ветрянки у детей — это красная, зудящая сыпь, которая чем-то напоминает последствия укусов насекомых. Но это не значит, […]
  • Как выполнять умножение корней. Как делить квадратные корни

    Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

    Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

    Метод 1. Деление подкоренных выражений

    Алгоритм действий:

    Записать дробь

    Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

    Пример 1

    144 ÷ 36 , это выражение следует переписать так: 144 36

    Использовать один знак корня

    В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

    Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

    Пример 2

    144 36 . Это выражение следует записать так: 144 36

    Разделить подкоренные выражения

    Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

    Пример 3

    144 36 = 4 , запишем это выражение так: 144 36 = 4

    Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

    Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

    Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

    Пример 4

    4 — полный квадрат, потому что 2 × 2 = 4 . Из этого следует:

    4 = 2 × 2 = 2 . Поэтому 144 36 = 4 = 2 .

    Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

    Алгоритм действий:

    Записать дробь

    Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.

    Пример 5

    8 ÷ 36 , переписываем так 8 36

    Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

    Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

    Пример 6

    8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

    Упростить числитель и знаменатель дроби

    Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

    Пример 7

    2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , из этого следует: 8 36 = 2 2 6

    Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

    В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т. е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.

    Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

    Пример 8

    В выражении 6 2 3 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3 , чтобы избавиться от него в знаменателе:

    6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

    Упростить полученное выражение (если необходимо)

    Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

    Пример 9

    2 6 упрощается до 1 3 ; таким образом 2 2 6 упрощается до 1 2 3 = 2 3

    Метод 3. Деление квадратных корней с множителями

    Алгоритм действий:

    Упростить множители

    Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

    Пример 10

    4 32 6 16 . Сначала сокращаем 4 6: делим на 2 и числитель, и знаменатель: 4 6 = 2 3 .

    Упростить квадратные корни

    Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

    Пример 11

    32 делится нацело на 16 , поэтому: 32 16 = 2

    Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

    Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

    Пример 12

    2 3 × 2 = 2 2 3

    Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

    Пример 13

    4 3 2 7 . Следует умножить числитель и знаменатель на 7 , чтобы избавиться от корня в знаменателе.

    4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

    Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем

    Алгоритм действий:

    Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

    Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

    Пример 14

    1 5 + 2 — в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

    Найти выражение, сопряженное биному

    Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

    Пример 15

    5 + 2 и 5 — 2 — сопряженные биномы.

    Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

    Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a — b) (a + b) = a 2 — b 2

    Пример 16

    1 5 + 2 = 1 (5 — 2) (5 — 2) (5 + 2) = 5 — 2 (5 2 — (2) 2 = 5 — 2 25 — 2 = 5 — 2 23 .

    Из этого следует: 1 5 + 2 = 5 — 2 23 .

    Советы:

    1. Если вы работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь.
    2. Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
    3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
    4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
    5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Формулы корней. Свойства квадратных корней.

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень…»
    И для тех, кто «очень даже…»)

    В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.

    Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да…

    Начнём с самой простой. Вот она:

    Если Вам нравится этот сайт…

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

    Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

    Вы ведь тоже ещё не вкурили?

    Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

    1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
    2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

    Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

    Основное правило умножения

    Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

    Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

    \[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]

    Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

    Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

    \[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]

    Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу .

    Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

    Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

    Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. {2}}}=\sqrt{75}. \end{align}\]

    Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

    До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

    Шаги

    Разложение на простые множители

      Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

    • Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
    • Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).
  • Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

    • В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
      • √(25 х 16)
      • √25 х √16
      • 5 х 4 = 20
  • Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

    • Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
      • = √(49 х 3)
      • = √49 х √3
      • = 7√3
  • Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

    • Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
      • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.
  • Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

    • Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
    • Рассмотрим другой пример: √88.
      • = √(2 х 44)
      • = √ (2 х 4 х 11)
      • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
      • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

    Вычисление квадратного корня вручную

    При помощи деления в столбик
    1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».

      • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде «7 80, 14». Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.
    2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

      • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4
    3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

      • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.
    4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

      • В нашем примере второй парой чисел является «80». Запишите «80» после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите «4_×_=» снизу справа.
    5. Заполните прочерки справа.

      • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
    6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

      • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.
    7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

      • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.
    8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

      • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 — 4941 = 173.
    9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

    Понимание процесса

      Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

      Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.

      Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b — вторую пару цифр и так далее.

      Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

    1. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa

      • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8
  • Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень . Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:

    1. Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
    2. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.

    Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против квадратных корней .

    Итак, алгоритм:

    1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
    2. Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
    3. Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.

    Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.

    Ограничение корней

    В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:

    10 2 = 100;
    20 2 = 400;
    30 2 = 900;
    40 2 = 1600;

    90 2 = 8100;
    100 2 = 10 000.

    Получим ряд чисел:

    100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

    Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

    [Подпись к рисунку]

    То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

    [Подпись к рисунку]

    Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

    Отсев заведомо лишних чисел

    Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

    Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:

    Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа .

    Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

    Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
    1 4 9 6 5 6 9 4 1 0

    Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:

    2 2 = 4;
    8 2 = 64 → 4.

    Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

    [Подпись к рисунку]

    Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

    [Подпись к рисунку]

    Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

    Финальные вычисления

    Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

    Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:

    52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
    58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

    Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный:)

    Примеры вычисления корней

    Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.

    [Подпись к рисунку]

    Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:

    400 20 2

    Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа:

    Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным:

    24 2 = (20 + 4) 2 = 576

    Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень.

    Задача. Вычислите квадратный корень:

    [Подпись к рисунку]

    900 30 2

    Смотрим на последнюю цифру:

    1369 → 9;
    33; 37.

    Возводим в квадрат:

    33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
    37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

    Вот и ответ: 37.

    Задача. Вычислите квадратный корень:

    [Подпись к рисунку]

    Ограничиваем число:

    2500 50 2

    Смотрим на последнюю цифру:

    2704 → 4;
    52; 58.

    Возводим в квадрат:

    52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

    Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.

    Задача. Вычислите квадратный корень:

    [Подпись к рисунку]

    Ограничиваем число:

    3600 60 2

    Смотрим на последнюю цифру:

    4225 → 5;
    65.

    Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:

    65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

    Все правильно. Записываем ответ.

    Заключение

    Увы, не лучше. Давайте разберемся в причинах. Их две:

    • На любом нормальном экзамене по математике, будь то ГИА или ЕГЭ, пользоваться калькуляторами запрещено. И за пронесенный в класс калькулятор могут запросто выгнать с экзамена.
    • Не уподобляйтесь тупым американцам. Которые не то что корни — они два простых числа сложить не могут. А при виде дробей у них вообще начинается истерика.

    1 корень из 3 делить на 3

    Вы искали 1 корень из 3 делить на 3? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 3 делить на корень из 3, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 корень из 3 делить на 3».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 корень из 3 делить на 3,3 делить на корень из 3,корень 3 делить на 3,корень из 3 деленное на 3,корень из 3 делить на 3. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 корень из 3 делить на 3. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, корень 3 делить на 3).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 корень из 3 делить на 3 Онлайн?

    Решить задачу 1 корень из 3 делить на 3 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher. ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

    Как правильно делить корни растений

         Деление корней цветов просто необходимо, если вы решили сразу за одно «мероприятие» получить пару сильных и взрослых растений, которые в будущем будут готовы к цветению. Но если рассматривать этот вопрос с иной стороны, то можно сказать, что деление корней может негативно сказаться на состоянии растений, особенно при неправильной работе с корнями.

         Прежде чем разбирать вопрос – как делить корни, необходимо определиться с растениями, которые можно так размножать. Прежде всего, это травянистые экземпляры с хорошей корневой системой. Делить таким образом можно цветы и кустарники.

    Алгоритм деления корней:

    1. Цветок извлеките из грунта и стряхните большой ком земли.

    2. Остатки почвы смойте водой, но не нужно полностью очищать корни, главное, чтобы почва не мешала вам при делении.

    3. Оцените корневую систему, и решите, сколько взрослых цветов может получиться из этого одного экземпляра. Внимание обращайте на побеги и почки.

    4. Осуществите обрезку побегов на высоту 10 см. Это мероприятие поможет использовать силы цветов для восстановления корней, а не роста побегов.

    5. Если корневые отростки начали твердеть, и видно, что ничего хорошего с них не получиться, то эти корни срезают.

    6. Желтые и сухие побеги, листья сразу уничтожают.

    7. Обратите внимание на то, что центральная часть цветка делиться не должна. Вы отделяете лишь боковые корни.

    8. Срезы обрабатывают древесным углем, а новые растения высаживают в специальные горшки.

    Что вы еще должны знать о делении корней

          Не выполняйте этот процесс во время цветения растения. Лучше проводить его после этого периода. Если соблюсти эту рекомендацию сложно, то за пару дней перед процессом бутоны и цветы уничтожают, иначе цветок прижиться не сможет.

          Кустарник в открытой почве разделяют осенью, а комнатные цветы – весной. Перед извлечением растения из земли, грунт хорошо поливают, чтобы корневая система не повредилась. Ни в коем случае не тяните растение за наземную часть. Корневую систему вынимают вместе с грунтом, стуча по горшку. Если цветок растет на клумбе, то его осторожно подкапывают и достают при помощи садовых инструментов. Для минимального повреждения корневой системы используют острый нож. Корневую систему не ломайте руками! Это негативно скажется на состоянии будущего цветка.

    Обратите внимание! Не делите куст на маленькие части, так как это может негативно сказаться на их росте и развитии. Приживаемость будет минимальной. Не забывайте, что на каждой части должны быть один взрослый побег.

          В открытую почву сразу высаживать растения нельзя, так как им нужен период восстановления, да и лучи солнца на растения повлияют негативно.

    Польза размножения делением куста

         Кроме того, что растений становится больше, они еще и омолаживаются. Ведь спорить бессмысленно с тем, что биологический возраст всех живых существ не вечен, и растение не стало исключением. Так что вы можете при помощи деления корней обновить ваши многолетники без дополнительного выращивания рассады.

    Время делить пионы!

    16 августа, 2017/Светлана Мовчан, консультант СЦ «Подворье», сад во Владимирской области

    Фото из сада автора

    Для всех садоводов этот год стал настоящим испытанием на стойкость, мужество и терпение: в мае и в начале июня прошла череда сильных заморозков, далее, вплоть до второй декады июля – холод с непрекращающимися дождями. Временами создавалось такое впечатление, что наступает садовый апокалипсис. 

    Пионы и многие декоративные растения в саду (флоксы, гортензии, розы) зацвели с опозданием на 3–4 недели. Такая погода, безусловно, спровоцировала развитие различных грибных заболеваний, в частности, серой гнили – главного врага пионов. На взрослых кустах и, особенно, на молоденьких, недавно посаженных пионах, несмотря на многократную обработку фунгицидами чернели бутоны и листья, стебли загнивали у основания и падали. Тем не менее многие пионы, выдержав губительное влияние столь ужасных факторов и проявив поистине королевское достоинство, продемонстрировали в результате великолепное цветение. Здесь не могу не выразить своё восхищение этими прекрасными цветами!!!

    Сейчас, в августе, постарайтесь хотя бы ещё один раз обработать пионы фунгицидами для профилактики серой гнили, используя ХОМ, Ордан, Абига-Пик. Также подойдут Профит-голд (3 г на 5 л воды), Скор или Раёк (2 мл на 5 л). В раствор обязательно добавьте немного зелёного мыла для лучшего прилипания – дожди-то пока никто не отменял. Сильно поражённые болезнью стебли надо немедленно срезать, чуть углубляясь в почву. Срезы присыпать ХОМом или золой.

    В связи с такой экстремальной ситуацией возникает вполне закономерный вопрос: раз цветение пионов отодвинулось почти на месяц, то как же тогда быть со сроками деления, ведь зима может наступить вовремя и, как всегда, неожиданно? Надо сказать, что у матушки-природы все устроено по закону, и в июле у пионов, как полагается, начали закладываться почки для вегетации в следующем году. Поэтому давайте отбросим все сомнения и будем делить наши пионы в традиционные для них сроки: с начала третьей декады августа и до середины сентября.

    Рассмотрим основные причины, по которым мы делим пионы:

    1. Размножение. Возраст 4–5 лет для межвидовых гибридов и 5–6 лет для сортов пиона молочноцветкового, а также Ито-гибридов, будет, пожалуй, идеальным для деления и размножения. Но так как существуют сорта, которые очень медленно нарастают (“Joseph Christie”, “Summer Glow”), обязательно надо учитывать количество стеблей: их должно быть не меньше 6–7, а диаметр основания куста должен составлять около 18–20 см. 

    2. Омоложение. Куст очень старый. Качество цветения, несмотря на ежегодное внесение удобрений, снижается год от года. Стебли в центральной части куста регулярно поражаются серой гнилью.

    3. Пион вследствие болезни за сезон потерял более трети стеблей. В этом случае выкапываем его, несмотря на возраст, с целью зачистить корневище и отделить здоровые корни с почками. Иначе вероятность гибели пиона от корневой гнили в будущем очень высока.

    4. Переезд на новое место. Если возраст пиона составляет 1–3 года, то его выкапывают с большим комом и пересаживают, соблюдая уровень залегания почек. Более взрослые кусты на такой переезд могут ответить торможением развития, ухудшением, а то и прекращением цветения. Их лучше поделить.

    Сам процесс деления пионов – дело довольно простое, нужно только правильно подготовиться к нему: собрать необходимые инструменты, выбрать, по возможности, погожий денёк, место, где вам не будут мешать и беспокоить по пустякам и, конечно же, обладать достаточным количеством свободного времени, чтобы сделать всё не спеша и правильно. Но кто сказал, что простое – не значит творческое? Очень даже творческое, поскольку у старых кустов обычно сильно переплетены корни, и решение – как лучше поделить, чтобы сохранить баланс между количеством почек и общей массой корней, приходит не сразу. Это тот случай, когда нужно семь раз прикинуть и не рубить с плеча, а крепко подумать, прежде чем заняться делением. 

    Итак, для начала, сделайте ревизию в сарае. За свой многолетний опыт деления пионов я использовала следующее:

    Для выкопки: крепкая лопата с изогнутой, как рычаг, ручкой и хорошо заточенная штыковая лопата для подрезки корней, секатор и, если предполагается выкопка старого большого куста, лом (заранее позаботьтесь о помощнике).

    Для очистки корневища: маленькая узкая лопаточка, большая ёмкость с водой (можно воспользоваться бочкой). Предусмотрите возможность подвода шланга с хорошим напором воды.

    Для деления: установите в месте, где будете работать, невысокий устойчивый столик, найдите полено или любую другую подходящую опору для корневища, подберите удобные для вас ножи. Я предпочитаю делить ножом для прививки или ножом для чистки овощей, а также складным ножиком с прямым лезвием. Главное требование к ним – это очень прочное и острое стальное полотно. Макетный нож использую только для подрезки и зачистки, так как при делении плотного корневища он может просто обломиться и застрять в корне. Для деления Ито-гибридов вам ещё понадобятся (не пугайтесь) стамеска, молоток и небольшая пила. Не забудьте бирки, бумагу, маркер или мягкий карандаш.

    Для обработки корней и срезов: пластиковый таз или ведро, Витарос, Хом, древесный уголь.

    Для вас лично: медицинский клей БФ-6, перекись водорода, бактерицидный пластырь, успокаивающий чай из трав (мелиса, ромашка, душица – найдёте у себя в саду) и, само собой разумеется, что-нибудь эдакое, на потом, когда работа по делению будет успешно выполнена.

    В моей практике я применяла два способа деления:

    1. С частичной выкопкой куста.

    Этот способ актуален, прежде всего, для больших старых кустов молочноцветковых пионов, которые надо омолодить или одарить ими всех соседей и друзей. При этом способе количество делёнок не имеет значения. Выберите сектор – “кусок пирога” с границами, где стебли наиболее отходят друг от друга. На расстоянии около 25 см от выбранного сектора выройте траншею на штык лопаты, уберите, по возможности, лишнюю землю со всего делимого участка. Острой штыковой лопатой наискосок, вглубь куста, подрежьте корни. Установите лопату вертикально и, приложив немного силы, отсеките с двух сторон желаемый кусок корневища. Что с ним делать дальше – читайте ниже, во втором способе. Место среза у куста очистите от неизбежно поломанных стеблей, дайте пару дней подсохнуть, затем засыпьте смесью компоста, земли и песка. На следующий год можно снова, но уже с другой стороны, вынуть из него новый кусок. Сами понимаете, делать это бесконечно не получится – куст совсем зачахнет, и его со временем придётся убрать, но это не страшно, так как у вас на новом месте уже будут подрастать его “дети”.

    2. Классический способ деления с полной выкопкой куста.

    Секатором обрежьте все стебли на высоту 10 см. Отступите от основания 20–25 см и выройте траншею на штык лопаты вокруг всего куста, для Ито-гибридов это расстояние увеличьте до 30–35 см. 

    С помощью узкой лопаточки очень осторожно очистите основание куста от земли, насколько это возможно. Пройдитесь не спеша по всему периметру лопатой, углубляя её к центру и одновременно приподнимая куст.

    Если куст очень большой, дополнительно воспользуйтесь ломом, чтобы не сломать лопату. При подъёме куста ещё немного уберите землю. Теперь достаньте аккуратно корневище и перенесите его к месту помывки, при этом старайтесь не тянуть за стебли – вы можете оборвать почки.

    Установите пион на заранее подготовленную опору и сильной струёй воды из шланга отмойте его полностью от земли. Если корень небольшой и один, используйте просто лейку или прополощите его в бочке. Чем тщательнее вы очистите корневище, тем легче его делить – почки будут видны, как на ладони.

    После очистки закрепите на пионе бирку с названием сорта и оставьте его на сутки отдыхать, чтобы корни подвялились и стали гибкими. Если не хотите ждать, тогда приготовьтесь к чуть большим отходам при делении, т.к. в момент выкопки корни достаточно хрупкие и вы можете лишиться нужных корней или их частей.

    Теперь самое интересное и быстрое, когда волшебный взмах вашей руки, держащей нож, определит количество делёнок.

    Как я уже писала выше, идеальными для деления являются 4–5 летние кусты. Возьмите такое корневище в руки, несколько раз, осторожно, согните его у основания в разные стороны, при этом вы легко увидите место сочленения корней. Вам останется только сделать небольшие надрезы, чтобы корень распался на стандартные красивые делёнки.

    Другое дело – старый заслуженный пион. Для начала установите корневище на опору.

    Не советую, особенно начинающим, делить “на весу” – одно неосторожное движение и … ваши корни останутся без почек, да и сами можете пораниться. 

    Сразу обрежьте все корни до 15–18 см. Сначала отделите те молодые светлые горизонтальные корни с крупными почками, которые не требуют особых раздумий (и так ясно, как их отделить). После этого станет понятней, как поступить с оставшимися. Обычно на основании старого корневища видны пустоты от отмерших стеблей, вот по ним-то и разрежьте середину на несколько частей. Чтобы не повредить почки, которые спрятаны между корнями, можно сделать подрезы сбоку и снизу корневой шейки. Если корни в центральной части сильно перепутались между собой и с трудом выкручиваются, допустимо укоротить их до 8 см. Старые подгнившие корни надо удалить совсем.

    В результате на каждой делёнке должно быть от 2 до 5 хорошо развитых почек и соответствующее количество корней толщиной не менее 0,8–1 см в диаметре и длиной 15–18 см.

    Не лишним будет напомнить, что при посадке большой делёнки пион в первый год–два развивается очень активно, живя за счёт старых корней, но практически не образуя новых. Поэтому в дальнейшем рост и цветение такого куста затухают, и его вновь приходится делить.

    Это замечание, в первую очередь, касается “куска пирога” из 1–го пункта (массивной, отсечённой части старого корневища). Не следует сажать его в таком виде, как бы вам ни хотелось – это весьма распространённая ошибка. После промывки и очистки от старых, поломанных и нечаянно подрезанных лопатой корней поделите то, что осталось на небольшие стандартные делёнки, пусть даже их получится одна или две.

    Деление Ито-гибридов мало чем отличается от деления обычных травянистых пионов. Сложность заключается в очень плотной ткани корня, которая режется с большим трудом. Бывает ситуация, когда перед делением вы с ужасом обнаруживаете, что все почки Ито-пиона сидят на одной “большой голове”, причём исключительно на одревесневшей части стеблей, а основные корни растут из толстого “туловища”, то есть нет в наличии горизонтальных молодых корней, отходящих от почек, и которые вы бы легко могли отделить. Чтобы расколоть такое “туловище” хотя бы пополам, понадобится стамеска и молоток. Для нанесения меньшего урона сначала маркером наметьте срез, немного подпилите сверху и снизу корневище.

    Затем на линии подпила установите вертикально стамеску и, ударяя по ней молотком, осторожно перемещайте её по намеченному срезу. Расколов корень пополам и подровняв острым ножом срез, вы сможете спокойно планировать дальнейшие действия с ним.

    Далее внимательно осмотрите ваши делёнки. Подровняйте срезы и зачистите все подозрительные тёмные пятна на корнях и корневой шейке. Максимально низко удалите на корневище все стебли, включая и старые засохшие и новые, этого года.

    У Ито-гибридов одревесневшие в нижней части побеги обрежьте над хорошо развитыми крупными почками. Замочите корни на 2 часа в растворе Витароса (по инструкции), затем, подсушив, затрите все срезы толчёным углём или присыпьте ХОМом. Если срез получился очень большой, залейте его горячим варом – так делают многие опытные пионоводы. 

    После стольких волнений настало, наконец, время всем отдохнуть: садоводу попить чайку и подготовится к посадке через неделю, а “новорождённым” пионам пережить стресс и затянуть свои раны в прохладном месте. Оставляя делёнки на неделю, не забудьте перед отъездом переложить их мхом или засыпать песком с торфом.

    В этой статье рассмотрены лишь общие положения по делению. Ваш опыт будет всегда уникален, как уникален каждый делимый вами пион. В награду садоводу, который упорен, не боится труда и любит эксперименты, достаётся прекрасный сад и присваивается почётное звание – “ОПЫТНЫЙ”!

     

    Подписывайтесь на нашу рассылку, чтобы узнавать о новых статьях и акциях первыми!

    Возведение в степень и извлечение корня из числа онлайн.

    Корень из числа

    Корень нечётной степени из положительного числа

    В результате вычисления корня нечётной степени из положительного числа будет положительное число: .

    Пример Вычислим корни нечётной степени из 8, 27, 125, 243

    Корни 3 степени также называют кубическими корнями.

    В результате вычисления корней 5-ой степени из положительных чисел, получили также положительные числа.

    Корень нечётной степени из отрицательного числа

    В результате вычисления корня нечётной степени из отрицательного числа будет отрицательное число: .

    Пример Найдем корни 3 и 5 степеней из отрицательных чисел.
    Корень четной степени из положительного числа

    Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения, положительное и отрицательное: .

    Пример Вычислим корни 2 и 4 степени.

    Корень 2-й степени называют квадратный корнем.

    Корень четной степени из отрицательного числа

    Корень четной степени из отрицательного числа не существует для вещественных чисел.

    Корень любой степени из нуля

    Числа в степени -1, 0, 1

    Число в -1 степени

    Число 3 в -1 степени можно представить в виде дроби .Обратная операция также верна , любую дробь можно представить как число в -1 степени, для этого нужно поменять числить и знаменатель местами.

    Число является обратным числом 5, т.е. их произведение равно единице , такое равенство выполнено для любого числа

    Пример Представить дробь в степени -1
    Число в 1 степени

    Число в первой степени является самим числом a1=a

    Число в 0 степени

    Любое число в степени ноль равно единице a0=1

    Функция КОРЕНЬ — Служба поддержки Office

    В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции КОРЕНЬ в Microsoft Excel.

    Описание

    Возвращает положительное значение квадратного корня.

    Синтаксис

    КОРЕНЬ(число)

    Аргументы функции КОРЕНЬ описаны ниже.

    Замечание

    Если число отрицательное, то SQRT возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

    Пример

    Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

    Данные

    -16

    Формула

    Описание

    Результат

    =КОРЕНЬ(16)

    Квадратный корень числа 16.

    4

    =КОРЕНЬ(A2)

    Квадратный корень из -16. Так как число отрицательное, #NUM! возвращается сообщение об ошибке.

    #ЧИСЛО!

    =КОРЕНЬ(ABS(A2))

    Старайтесь не #NUM! сначала с помощью функции ABS найдите абсолютное значение -16, а затем — квадратный корень.

    4

    Как разделить радикалы | Sciencing

    Обновлено 20 ноября 2020 г.

    Крис Дезил

    В математике радикал — это любое число, которое включает знак корня (√). Число под знаком корня является квадратным корнем, если перед знаком корня нет верхнего индекса, кубический корень — это верхний индекс 3 перед ним ( 3 √), корень четвертой степени, если ему предшествует 4 ( 4 √) и т. на. Многие радикалы нельзя упростить, поэтому деление на один требует специальных алгебраических методов.Чтобы использовать их, запомните эти алгебраические равенства:

    \ sqrt {\ frac {a} {b}} = \ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}}

    \ sqrt {a × b } = \ sqrt {a} × \ sqrt {b}

    Числовой квадратный корень в знаменателе

    В общем, выражение с числовым квадратным корнем в знаменателе выглядит так:

    \ frac {a} { \ sqrt {b}}

    Чтобы упростить эту дробь, вы рационализируете знаменатель, умножив всю дробь на √ b / √ b .2} = b

    \ frac {a \ sqrt {b}} {b}

    1. Рационализируйте знаменатель дроби

    \ frac {5} {\ sqrt {6}}

    Решение: Умножьте дробь на √6 / √6

    \ frac {5 \ sqrt {6}} {\ sqrt {6} \ sqrt {6}} \\ \, \\ \ frac {5 \ sqrt {6}} {6} \ text {или} \ frac {5} {6} × \ sqrt {6}

    \ frac {6 \ sqrt {32}} {3 \ sqrt {8}}

    Решение: В этом случае вы можете упростить, разделив числа вне знака корня и числа внутри него двумя отдельными операциями:

    \ frac {6} {3} = 2 \\ \, \\ \ frac {\ sqrt {32} } {\ sqrt {8}} = \ sqrt {4} = 2

    Выражение сводится к

    2 × 2 = 4

    Деление на кубические корни

    Та же общая процедура применяется, когда корень в знаменателе куб, корень четвертой или более высокой степени.2}}

    \ frac {5} {\ sqrt [3] {5}}

    Умножьте числитель и знаменатель на 3 √25.

    \ frac {5 × \ sqrt [3] {25}} {\ sqrt [3] {5} × \ sqrt [3] {25}} \\ \, \\ = \ frac {5 \ sqrt [3 ] {25}} {\ sqrt [3] {125}} \\ \, \\ = \ frac {5 \ sqrt [3] {25}} {5}

    Цифры вне знака корня отменяют, а ответ:

    \ sqrt [3] {25}

    Переменные с двумя членами в знаменателе

    Когда радикал в знаменателе включает два члена, вы обычно можете упростить его, умножив его на сопряжение.2 — 3}

    Конъюгаты и деление на радикалы

    Purplemath

    Иногда вам нужно умножать многочленные выражения, содержащие только радикалы. Это ситуация, в которой вертикальное умножение является прекрасным подспорьем.

    • Упростить

    Это упражнение выглядит некрасиво, но оно вполне выполнимо, если я аккуратен и точен в своей работе.

    Сначала я делаю умножение, используя вертикальный метод, чтобы все было прямо:

    MathHelp.com

    Затем я устанавливаю исходное выражение, равное последней строке из приведенного выше умножения, и завершаю вычисления, упрощая каждый член:


    • Упростить:

    Сначала делаю умножение:

    А потом упрощаю:


    Обратите внимание, в последнем примере выше, как я получил все целые числа.(Хорошо, технически это целые числа, но дело в том, что члены , а не включают в себя какие-либо радикалы.) Я перемножил два радикальных бинома и получил ответ, который не содержал радикалов. Вы также могли заметить, что два «бинома» были одинаковыми, за исключением знака посередине: у одного был «плюс», а у другого — «минус».

    Эта пара факторов, где второй фактор отличается только одним знаком посередине, очень важна; на самом деле этот «тот же, за исключением знака в середине» второй множитель имеет собственное название:

    Учитывая радикальное выражение

    , «сопряженный» является выражением.

    Конъюгат (KAHN-juh-ghitt) имеет те же числа, но с противоположным знаком посередине. Таким образом,

    является не только конъюгатом, но и конъюгатом.

    Кроме того, конъюгаты не обязательно должны быть двухчленными выражениями с радикалами в каждом из терминов. Фактически, любое двухчленное выражение может иметь конъюгат:

    1 + sqrt [2] является конъюгатом 1 — sqrt [2] sqrt [7] — 5 sqrt [6] является конъюгатом sqrt [7] + 5 sqrt [6] x + sqrt [y] является конъюгатом x — sqrt [y]

    Чтобы создать конъюгат, все, что вам нужно сделать, это перевернуть знак посередине.Все остальное остается прежним.


    • Что такое спряжение 3 + sqrt [5]?

    В этом случае я нахожу сопряжение для выражения, в котором только один из терминов имеет радикал. Отлично. Несмотря на это, процесс тот же; а именно я переворачиваю знак посередине. Так как они дали мне выражение со знаком «плюс» в середине, спряжение — это те же два термина, но с «минусом» посередине:


    • Найдите конъюгат –7 sqrt [3] — 2

    На этот раз радикал находится в первом из двух членов, и перед первым термином стоит «минус».Отлично. Я оставлю первый «минус» в покое, потому что ничего не меняю, кроме среднего знака; Переверну второй «минус» посередине на «плюс»:


    Когда мы умножаем конъюгаты, мы делаем нечто похожее на то, что происходит, когда мы умножаем на разность квадратов; а именно:

    a 2 b 2 = ( a + b ) ( a b )

    Когда мы умножаем множители a + b и a b , средние члены « ab » сокращаются:

    То же самое происходит, когда мы умножаем конъюгаты:

    Мы вскоре увидим, почему это важно.Чтобы понять это, давайте сначала взглянем на дроби, в знаменателях которых есть радикалы.


    Деление на квадратные корни

    Так же, как мы можем переключаться между умножением радикалов и радикалом, содержащим умножение, мы можем переключаться между делением корней и одним корнем, содержащим деление.

    • Упростить:

    Я могу упростить это, работая внутри, а затем извлекая квадратный корень:

    …или иначе, разделив разделение на два радикала, упрощение и исключение:

    В любом случае, мой окончательный ответ такой же.


    • Упростить:

    Я вижу, что в знаменателе есть полный квадрат, а в числителе — простое число.Так что упрощение будет легче, если я разделю радикал, содержащий фракцию, на фракцию, содержащую радикалы:


    URL: https://www.purplemath.com/modules/radicals4.htm

    Калькулятор делительных радикалов

    Пример: использование калькулятора делительных радикалов

    Допустим, вы выполняете какое-то сложное упражнение по трехмерной геометрии, и что следующий вопрос касается соотношения двух краев вашего твердого тела.Что ж, задача не кажется такой уж плохой; в конце концов, «соотношение , » — это просто причудливый способ сказать « частное ». Однако длины обоих краев включают некоторые радикалы , как это часто бывает, когда речь идет о прямых углах.

    В общем, вы сталкиваетесь с проблемой нахождения частного 3 * ⁴√64 и 2 * √125 . Что ж, похоже, это прекрасная возможность увидеть, как разделить радикалы с помощью калькулятора делительных радикалов Omni!

    Для начала обратите внимание, что в верхней части нашего инструмента мы видим , символическое представление интересующего нас выражения : (a * ⁿ√b) / (c * ᵐ√d) .В нашем случае нам нужно (3 * ⁴√64) / (2 * √125) , поэтому мы вводим в калькулятор:

    a = 3 , b = 64 , n = 4 , c = 2 , d = 125 , m = 2 .

    (Обратите внимание, что нам действительно не нужно было вводить m = 2 , поскольку эта опция используется по умолчанию. Это потому, что квадратных корней являются наиболее распространенными радикалами ).

    После того, как мы дадим все значения, мы можем просто считать ответ снизу .Также обратите внимание, как калькулятор делительных радикалов дает пошаговое решение вашей проблемы.

    Тем не менее, может наступить время в вашей жизни, когда поблизости не будет Wi-Fi, и вам отчаянно нужно будет найти решение такой проблемы. Для тех неудачных ситуаций давайте посмотрим, как разделить радикалы вручную .

    Прежде всего, обратите внимание, что корни, которые нам даны, имеют порядок 4 и 2 , и что lcm (4,2) = 4 .Следовательно, используя формулу из предыдущего раздела, мы получаем

    (3 * ⁴√64) / (2 * √125) = (3 / (2 * 125)) * ⁴√ (64 * 125²) = 0,012 * ⁴√1,000,000 .

    Однако это еще не самая простая форма, которую мы можем иметь. Мы можем упростить полученный радикал , поэтому начнем с нахождения разложения числа под ним на простые множители:

    1000000 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 2⁶ * 5⁶ .

    Затем, поскольку у нас есть корень порядка 4 , мы ищем групп из тех же четырех простых чисел в факторизации.Здесь у нас есть два: четыре 2 с и четыре 5 с, что оставляет только две 2 с и два 5 с. Вытаскиваем из радикала числа, представляющие полные группы, а остальные оставляем внутри:

    (3 * ⁴√64) / (2 * √125) = 0,012 * ⁴√1,000,000 = 0,012 * ⁴√ (2⁶ * 5⁶) = 0,012 * 2 * 5 * ⁴√ (2² * 5²) = 0,12 * ⁴ √ (2² * 5²) .

    Обратите внимание, как мы не умножили числа под корнем. Это потому, что мы можем упростить выражение дальше , поскольку порядок радикала и степени всех простых чисел внутри имеют общий множитель (т.е., 2 ). Следовательно, мы можем уменьшить порядок с показателями и получить:

    (3 * √64) / (2 * √125) = 0,12 * ⁴√ (2² * 5²) = 0,12 * √ (2 * 5) = 0,12 * √10 .

    Гораздо красивее, не правда ли?

    Ну, завершает это упражнение из геометрии . Вероятно, было бы лучше взглянуть на еще несколько, чтобы подготовиться к предстоящему тесту …

    The Science Behind Plant Division

    Делить для умножения.Даже язык этой обычной садовой практики намекает на ее парадоксальную силу. Деление — это простой метод вегетативного размножения, который включает разделение многолетнего растения на две или более части. Это не только самый простой способ получить больше растений, но также требуется уход за некоторыми многолетними растениями, если вы хотите максимального цветения год за годом — а кто этого не делает? Деление практично, относительно легко и очень приятно. После успешного разделения садовник становится чуть выше в сапогах.

    Иногда я просто наслаждаюсь чудесами роста растений в моем саду. Но когда одно из моих действий — например, деление — приводит к мертвому или увяданию растения, ученый во мне хочет знать, почему. Растения — это сложные живые организмы, и чем больше я понимаю науку об их структуре и циклах роста, тем лучшим садовником я становлюсь. Успешное деление зависит от роста новых корней, и освоение деления любого растения начинается с практики, лежащей в основе науки, — внимательного наблюдения за вашим предметом и окружающей его средой.

    Счастливые деления делают счастливых садовников. Если вы когда-нибудь задавались вопросом, почему растение перестало развиваться после разделения, возможно, что-то пошло не так на клеточном уровне.

    Прежде чем делить, задайте себе два вопроса

    Чтобы понять, что происходит с вашими растениями — хорошими, плохими и уродливыми — во время деления, вам сначала нужно выяснить, какой тип растения у вас есть и в какое время года вы его делите.

    Какая у него корневая система?

    Как именно вы делите — или нет — зависит от понимания того, что находится под землей.Выкопайте многолетнее растение, и вы найдете следующие пять типов систем корней / кроны. Обдумывая, как действовать, имейте в виду, что на каждом участке растения должна быть по крайней мере одна почка (глазок) или точка роста, а также несколько здоровых корней.

    Clumpers ( часто с мочковатой корневой системой). Эти подразделения иногда называют смещениями. Многие более мелкие растения вырастают из основания исходного растения, каждое из которых формирует свою собственную отдельную корневую систему.Это часто облегчает разделение рук с очень небольшим повреждением тканей, когда вы шевелитесь и тянете, чтобы отделить отдельные наросты.

    Примеры:

    1. Уши ягненка ( Stachys byzantina и сорта, зоны устойчивости USDA с 4 по 8).

    2. Лилейник ( Hemerocallis spp. И cvs., Зоны с 3 по 9).

    3. Hosta ( Hosta spp.и cvs., зоны с 3 по 9).

    Полозья (с тонкими корневищами и / или столонами). Эти растения имеют тенденцию к распространению, покрывая землю неглубокими горизонтальными стеблями, называемыми корневищами. Корневища укореняются вдоль своих узлов, а затем быстро дают новые побеги, что приводит к появлению многих делимых единиц.

    Бальзам пчелиный

    Примеры:

    4. Бальзам пчелиный ( Monarda spp. И cvs., Зоны с 3 по 9).

    5. Астра ароматическая ( Symphyotrichum oblongifolium и сорта, зоны с 3 по 8).

    6. Goldenrod ( Solidago spp. И cvs., Зоны с 4 по 9).

    Плотные деревянистые кроны ( часто с довольно толстыми корнями). Здесь мы переходим на более сложную территорию, где бутоны плотно упакованы на затвердевшей короне (основании). Чтобы получить подразделения, включающие несколько почек и массу здоровых корней, требуется более старое растение.Она должна быть достаточно большой, чтобы ее можно было разделить на 3-4 части, прежде чем вы рискуете порезать хрупкую коронку.

    деление многолетников

    Примеры:

    7. Baptisia ( Baptisia spp. И cvs., Зоны 3–9).

    8. Bluestar (A msonia spp. И cvs., Зоны с 3 по 9).

    9. Пион ( Paeonia spp. И сорта, зоны с 4 по 8).

    Однокорневые и деревянистые кустарниковые многолетники . Мой совет по этому поводу? Оставьте их в покое. Кустовидные многолетние растения, такие как лаванда ( Lavandula, spp. И сорта, зоны с 4 по 9) и шалфей русский ( Perovskia atriplicifolia, и сорта, зоны с 4 по 9), имеют отдельные древесные основания, не поддающиеся расщеплению. Одиночные стержневые корни, как у сорняков-бабочек ( Asclepias tuberosa и сорта, зоны 3–9), в равной степени неделимы. Со временем они могут образовать несколько стержневых корней, и смелый садовник может попытаться отделить их ранней весной.

    Корневища или клубни толстые . Эти органы представляют собой стебли, растущие вдоль или под землей, толстые и мясистые, приспособленные для хранения пищи. Нож или секатор идеально подходят для нарезки на секции, каждая из которых содержит хотя бы одну почку (глазок).

    Примеры:

    10. Ирис бородатый ( Ирис, виды и сорта, зоны с 3 по 10).

    11. Canna ( Canna spp.и cvs., зоны с 7 по 11).

    12. Далия ( Далия виды и сорта, зоны 8-11).

    Какое время года?

    Растения умеренного пояса хорошо приспособлены к предсказуемым сезонным изменениям. Изменения продолжительности дня и температуры влияют на гормоны, которые управляют критическими циклами, такими как рост побегов, цветение и, что наиболее важно для будущих делителей, рост корней. У большинства многолетних растений появляются новые сильные корни, когда ранней весной почва начинает нагреваться.Многие также отращивают новые корни осенью, когда почва еще теплая, но стебли и листья переходят в состояние покоя. Поскольку успешное разделение зависит от установления новых корней, легко понять, почему рекомендуются весна и осень.

    Некоторые многолетние растения летом укореняются, если их потревожить, но высокие температуры требуют охлаждения листьев испарением, что приводит к потере воды. Существенная потеря воды в то время, когда вы только что временно удалили водозаборную систему растения (то есть корни), составляет одно многолетнее растение, подверженное стрессу.Вам нужно будет провести небольшое исследование, чтобы выяснить, предпочитает ли ваш конкретный вид осеннее или весеннее деление. Например, у многих декоративных трав новые корни появляются только весной. Если разделить эти травы осенью, они вступят в зиму со старыми, поврежденными корнями, которые не могут эффективно увлажнить растение и уязвимы для зимней гнили. Без здоровых новых корней разделение, скорее всего, потерпит неудачу.

    Пошаговое деление основного завода

    Теперь, когда вы понимаете структуру своего растения и сезонные закономерности роста, возьмите лопату и приступайте к делу.Когда вы это делаете, с вашим растением происходит много всего на клеточном уровне
    , что может повлиять на ваш успех деления или частоту неудач.

    Шаг 1:

    Осторожно выкопайте растение

    Держите раскопанное растение в тени от солнца и защищайте корни от воздействия сухого воздуха, если его не собираются сразу пересаживать. Удаление растения из земли уничтожает почти все его крошечные нежные корневые волоски. Эти волосы растут из внешнего клеточного слоя (эпидермиса) молодых корней и отвечают за поглощение большей части воды.Защита откопанных молодых корней от дальнейшего повреждения в результате высыхания означает более быстрое восстановление после повторной посадки. Пересаженные корневые системы должны перезапустить процесс деления клеток (выращивание новых кончиков корней и корневых волосков), прежде чем снова начнется поглощение воды.

    ШАГ 2:

    Разделите растение на части

    Убедитесь, что на каждой части есть несколько бутонов или точек роста. Количество бутонов на деление и то, используете ли вы его руками или ножом, зависит от типа корневой системы.Комки можно отделить, дразня и дергая руками или разрезая чистым ножом, если комок особенно плотный. Полозья лучше всего разделять ножом, секатором, лопатой или вилками. Толстые корневища и клубни, а также плотные деревянистые кроны требуют острого ножа или секатора. Для изготовления деревянных коронок может потребоваться ручная пила или заточенная лопата.

    Вы собираетесь повредить корни и корневища, но не о чем беспокоиться. При первом же укусе лопаты или ножа растение издает сигналы о ранке и мобилизует ресурсы на здоровые корни, чтобы изнутри защитить открытые участки от инфекции.Вы можете помочь, сделав чистые надрезы и удалив сморщенные, мертвые или рваные куски. Большинство срезанных корней не «кровоточат», поэтому вам не нужно беспокоиться о чрезмерной потере влаги, за исключением растений, производящих латекс, таких как молочай ( Euphorbia, spp. И сорта, зоны с 3 по 10) и мак (). Papaver spp. И cvs., Зоны с 3 по 9). Из них будет течь молочный или цветной сок, и их можно временно поместить в теплую воду перед посадкой, чтобы уменьшить кровотечение.

    ШАГ 3:

    Пересадите, стараясь выкопать достаточно широкую яму

    Корни хотят расти и опускаться, поэтому не пытайтесь зажать их в лунке, позволяя кончикам указывать вверх или изгибая и наматывая их вокруг посадочной лунки.Это может привести к тому, что растение будет тратить ценную энергию, пытаясь выпрямить корни. Убедитесь, что почва находится в хорошем контакте с корневой системой, укрепив ее. Это гарантирует, что когда крошечные новые корневые волоски начнут расти, они будут попадать в почву и воду, а не в карманы воздуха. Поливайте медленно и тщательно, позволяя почве лучше осесть у корней. Это обеспечит счастливые разделения, что, в свою очередь, обеспечит счастливых садоводов.

    Более пристальный взгляд на подразделение

    Корневые волоски микроскопические, расположены чуть выше кончика корня.Каждый волосок впитывает воду в сердцевину корня (вверху слева).

    Выкопанное из земли, растение теряет большую часть, если не все, своих бесценных корневых волосков (вверху справа).

    Когда нож прорезает корневую систему, большинство растений посылают сигнал о ранении, чтобы защитить растение от потенциальных инфекций и болезней (внизу слева).

    Пересадите в отверстие , которое достаточно большое и достаточно глубокое, чтобы все корни можно было направить вниз и равномерно распределить без скоплений или скручивания (внизу справа).

    Подробнее:

    Почему не удается подразделение завода

    10 советов по делению растений

    Получайте наши последние советы, практические статьи и обучающие видеоролики, отправленные на ваш почтовый ящик.

    Квадратный корень методом длинного деления

    В этом разделе вы узнаете, как шаг за шагом находить квадратный корень из числа.

    Давайте найдем квадратный корень из 104976 шаг за шагом, используя метод деления в длину.

    Шаг 1:

    Разделяйте цифры, беря запятые справа налево один раз на две цифры.

    10,49,76

    Когда мы это делаем, мы получаем 10 перед первой запятой.

    Шаг 2:

    Теперь нам нужно умножить число на себя так, чтобы

    произведение ≤ 10

    (произведение должно быть наибольшим и также меньше 10)

    Вышеупомянутое условие будет выполнено «3».

    Потому что 3 ⋅ 3 = 9 ≤ 10.

    Теперь эта ситуация объясняется с помощью длинного деления

    На приведенном выше рисунке 9 вычтено из 10, и мы получили остаток 1.

    Шаг 3:

    Теперь нам нужно уменьшить 49 и частное 3, чтобы умножить его на 2, как показано на рисунке ниже.

    Шаг 4:

    Теперь мы должны взять одно и то же число в двух местах, обозначенных знаком «?».

    Затем мы должны найти продукт, показанный на картинке, а также продукт должен соответствовать указанным условиям.

    Шаг 5:

    Условие, указанное на шаге 4, будет выполнено заменой «?» с «2».

    Затем мы должны выполнить расчет, как показано на рисунке.

    Шаг 6:

    Теперь нам нужно уменьшить 76 и частное 32 умножить на 2, как показано на рисунке ниже.

    Шаг 7:

    На изображении выше мы применили процедуры, описанные в шагах 4 и 5. И мы получили нулевой остаток.

    Шаг 8:

    Из приведенного выше изображения мы наконец получили квадратный корень из 104976. Это 324.

    Следовательно, квадратный корень из 104976 равен

    324

    Практические задачи


    Найдите квадратный корень из следующих чисел, используя метод длинного деления.

    1) 12321

    2) 16384

    3) 65536

    4) 474721

    5) 145161

    6) 2116

    7) 55225

    8) 7744

    ) 278784

    Ответы на поставленные вопросы:

    1) 111

    2) 128

    3) 256

    4) 689

    5) 381

    6) 46

    7) 235 80003

    7) 235

    ) 88

    9) 326

    10) 528

    Помимо того, что описано в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

    Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

    [email protected]

    Мы всегда ценим ваши отзывы.

    Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

    ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

    Задачи со словами HCF и LCM

    Задачи со словами на простых уравнениях

    Задачи со словами на линейных уравнениях

    Задачи со словами на квадратных уравнениях

    56

    Проблемы со словами в поездах

    Проблемы со словами по площади и периметру

    Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

    Проблемы со словами по цене за единицу

    Проблемы со словами по скорости за единицу

    Задачи по сравнению ставок

    Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

    Преобразование в метрические единицы в словесных задачах

    Словарные задачи по простому проценту

    Словесные задачи по сложным процентам

    ngles

    Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

    Проблемы со словами с двойными фактами

    Проблемы со словами тригонометрии

    Проблемы со словами в процентах

    Word для разметки и убытков 9372 задачи

    задачи с десятичными числами

    задачи со словами на дроби

    задачи со словами на смешанные фракции

    одностадийные задачи со словами с уравнениями

    линейные неравенства со словами с неравенствами

    75 задачи

    задачи со временем и работой со словами

    задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

    задачи со словами на возрастах

    теорема Пифагора задачи со словами

    Процент числового слова проблемы

    Проблемы со словами при постоянной скорости

    Проблемы со словами при средней скорости

    Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

    ДРУГИЕ ТЕМЫ

    Сокращения прибыли и убытков

    Сокращения в процентах

    Сокращения в таблице времен

    Сокращения времени, скорости и расстояния

    Сокращения соотношения и пропорции

    Домен и диапазон рациональных функций 9376 функции с отверстиями

    График рациональных функций

    График рациональных функций с отверстиями

    Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

    Десятичное представление рациональных чисел

    с использованием длинного корня видение

    L.Метод CM для решения временных и рабочих задач

    Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

    Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

    Остаток при делении степени 17 на 16

    Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

    Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

    Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

    Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

    Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

    Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

    Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

    Решение задач, содержащих два квадратных корня

    Решение задач, содержащих два квадратных корня Вот шаги, необходимые для решения задач, содержащих два квадратных корня:
    Шаг 1 : Выделите один из двух квадратных корней на одной стороне уравнения, переместив все остальные члены в противоположную сторону уравнения.
    Шаг 2 : Возведите в квадрат каждую сторону уравнения. Возведение квадратного корня в квадрат приводит к тому, что один из квадратных корней исчезает, оставляя выражение, которое было внутри квадратного корня.
    Шаг 3 : Упростите уравнение, найденное на шаге 2, распределив (или сократив), чтобы удалить круглые скобки, а затем объединив похожие термины.
    Шаг 4 : На данный момент в задаче должен остаться только один квадратный корень.Итак, выделите квадратный корень, переместив все остальные члены в противоположную часть уравнения.
    Шаг 5 : Возведите в квадрат каждую сторону уравнения. Возведение квадратного корня в квадрат приводит к тому, что квадратный корень исчезает, оставляя выражение, которое было внутри квадратного корня.
    Шаг 6 : Решите уравнение, найденное на шаге 5. На этом шаге может потребоваться распределение (или FOILing), объединение одинаковых членов, выделение переменной или решение путем разложения на множители в зависимости от оставшихся членов.
    Шаг 7 : Проверьте свой ответ. При решении задач извлечения квадратного корня иногда вы получаете неправильные ответы, поэтому убедитесь, что вы подставили свой ответ в исходный вопрос, чтобы убедиться, что он правильный.

    Пример 1 — Решить:

    Пример 2 — Решить:

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 3 — Решить:

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 4 — Решить:

    Щелкните здесь для практических задач

    Калькулятор корня

    Калькулятор квадратного корня

    Калькулятор кубического корня

    Калькулятор общего корня


    Калькулятор связанных показателей | Научный калькулятор | Log Calculator

    В математике общий корень или корень n th числа a — это другое число b , которое при умножении на себя n раз дает a .В формате уравнения:

    n √a = b
    б н = а

    Оценка корня

    Некоторые общие корни включают квадратный корень, где n = 2, и кубический корень, где n = 3. Вычисление квадратных корней и n th корней является довольно трудоемким. Это требует оценки, проб и ошибок. Существуют более точные и эффективные способы вычисления квадратных корней, но ниже приведен метод, не требующий глубокого понимания более сложных математических концепций.Для расчета √a:

    1. Оценить число b
    2. Разделите a на b . Если возвращаемое число c является точным до желаемого десятичного разряда, остановитесь.
    3. Среднее значение b и c и использовать результат как новое предположение
    4. Повторите шаг два
    EX: Найти √27 до 3 знаков после запятой
    Предположение: 5,125
    27 ÷ 5.125 = 5,268
    (5,125 + 5,268) / 2 = 5,197
    27 ÷ 5,197 = 5,195
    (5,195 + 5,197) / 2 = 5,196
    27 ÷ 5,196 = 5,196

    Оценка n

    th Корень

    Вычисление корней n th можно выполнить с помощью аналогичного метода с изменениями для работы с n . Вычисление квадратного корня полностью вручную утомительно. Оценить более высокие корни n th , даже если использовать калькулятор для промежуточных шагов, значительно утомительнее.Для тех, кто разбирается в рядах, см. Здесь более математический алгоритм для вычисления корней n th . Для более простого, но менее эффективного метода перейдите к следующим шагам и примеру. Для расчета n √a:

    1. Оценить число b
    2. Разделите a на b n-1 . Если возвращаемое число c является точным до желаемого десятичного разряда, остановитесь.
    3. Среднее значение: [b × (n-1) + c] / n
    4. Повторите шаг два
    EX: Найти 8 √15 до 3 знаков после запятой
    Угадай: 1.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *